И здан и е второе, стереотипное

§ б . З а д н и й ф р о н т в о л н ы
Ф ормула 
К ирхгоф а 
позволяет 
обнаружить 
интересную
о с о б е н н о с т ь
явления 
распространения волн в трехмерном 
п р о ст р а н ст в е — возникновение 
так 
называемого 
заднего
фронта
полны. О со б е н н о ст ь эту нетрудно выявить, исходя 
из т о г о , что ф ормула К ирхгоф а содерж ит интегрирование 
т о л ь к о п о сф ере перем енного радиуса.

---

Я сно, что в формуле К ирхгоф а и ( х , t) = 0, если tp0(z )= ^ O , 
<р, (
2:) = 0 при z ( p St' Допустим теперь, что начальные ф унк­
ции отличны о т нуля тол ьк о в нек оторой области D  п р о ­
странства Е$ (рис. 47). П усть точка х  находится, например, 
вне области D. Обозначим через В и 8ц соответствен н о наи­
меньшее и наибольшее расстояния о т точки х  д о точек гра­
ницы области D.
В моменты времени,, близкие (< начальному, именно пока 
t
8, сф ера St не пересекается с обл астью D (сф ера Stt на 
рис. 47), на этой сфере, начальные функции равны нулю и 
и (х ,
0 = 0. Если 8 < ^ / < ^ о 1( т о сф ера St пересекает обл асть D 
(сф ера Sf3 на рис. 47); на той 
части сферы St, которая лежит 
внутри D, начальные функции 
отличны 
о т
тож дественного 
нуля 
и, 
в ообщ е 
говоря, 
и
(jc, t) ф  0. Оба эти случая 
были выявлены нами в свое 
время, в § 5 гл. 21, для вол ­
н о в ого уравнения в простран­
стве л ю б о г о числа измерений.
П усть теперь 
С ф е­
ра St не пересекается с о б ­
ластью D  (сф ера Sit на рис. 4 7 ) и опять и (лг, t) — 0; точка х  
находилась в состоянии возмущения в течение пром еж утка 
времени 8 < ^ < ^ 8 , й затем вернулась в состоян и е покоя.
Если р а ссм о !р е ть колеблю щ ую ся с р е д у в момент времени, 
не слиш ком близкий к начальному, т о мы обнаруж им в это й
ср еде точки трех типов; одни точки находятся в п ок ое, 
п отом у что возмущение до них ещ е не дош л о, др уги е точки 
находятся в состоянии возмущения, третьи опять находятся 
в пок ое — через эти точки возмущ ение уж е п рош л о. П ер ед ­
ний ф ронт волны (см. § 5 гл. 2 1 ) определяет обл асть, д о
к о то р о й возмущение еще не дош л о, о т области, находящейся 
в состоянии возмущения. П ов ер х н ость , отделяющ ая обл а сть 
возмущения о т области, через к о т о р у ю
возмущ ение уж е 
прош ло, 
называется 
задним 
ф рон том
волны. 
Если, 
как 
мы э т о сделали выше, обозначить через 8, наибольш ее р а с­
стояние 
о т
точки х  до границы 
обл асти D, 
т о задний 
ф ронт волны проходит через т о ч к у х  в момент времени 
t —
8,.

---

Если в ол н овое уравнение имеет вид
-^5 — а9Ди = 0,