I гильбертово пространство

Глава 3
Пространство L₂
Понятия скалярного произведения, нормы и расстояния между функциями, введенные в гл. 2 для функций из линеала L, рас­ширяются в этой главе на линеал так называемых квадратично интегрируемых в области G функций.
Гл. 3. Пространство L₂ 25
Определение 3.1. Говорят, что вещественная функция и(х) яв­ляется квадратично интегрируемой в области G, если интегралы
^ и (х) dx, ^ “² (^х) (3.1)
g а
являются сходящимися (т. е. если они существуют *) и конечны).
Замечание 3.1. Из приведенного определения видно, что любая непрерывная в замкнутой области G функция является квадратич­но интегрируемой, поскольку оба интеграла, очевидно, являются сходящимися для непрерывной функции. Следовательно, все функ­ции из линеала L, рассмотренного в гл. 2, квадратично интегри­руемы. Однако к классу квадратично интегрируемых функций при­надлежат и функции существенно более общего вида (см. гакже пример 3.1). Мы хотели бы обратить внимание читателя на то, что интегралы (3.1) должны рассматриваться в смысле Лебега, чтобы обеспечить справедливость некоторых получаемых позднее теоретических результатов, особенно тех, которые основаны на понятии полноты пространства Ь₂ (см. гл. 4). Определение интег­рала по Лебегу вместе с его основными свойствами вкратце об­суждается в гл. 28. Однако для понимания материала знакомст­во с деталями теории Лебега на данном этапе не является необ­ходимым. Функции, с которыми читатель имеет дело в инженер­ных и научных задачах, не имеющие сингулярностей «слишком высокого порядка» в том случае, когда они неограниченны (ср. пример 3.1), являются квадратично интегрируемыми в рассматри­ваемой области G как в смысле Лебега, так и в классическом смыс­ле Римана. Более того, значения интегралов, так же как и основ­ные способы их взятия, одни и те же. Однако с теоретической точки зрения появляющиеся в последующем интегралы (и в пер­вую очередь интегралы (3.1)) должны рассматриваться как интег­ралы по Лебегу. Таким образом, под словами функция, квадра­тично интегрируемая в данной области, всегда понимается функ­ция, квадратично интегрируемая по Лебегу.
Если речь идет об ограниченных функциях, то к классу квад­ратично интегрируемых функций принадлежат в первую очередь непрерывные и кусочно-непрерывные в G функции. Что же каса­ется неограниченных функций, давайте рассмотрим два простых примера для случая N= 1, т. е. для функций одной переменной.
Пример 3.1. Функция и (х) = \1\/х квадратично интегрируема на интервале (0, 1), так как сходятся оба интеграла (3.1): 11 11


*) В смысле Лебега, см. замечание 3.1. Ср. также замечание 28.4, с. 325.

С другой стороны, функция и(х) — \jVх не является квадратично интегрируемой на интервале (0, 1), поскольку, хотя первый ин­теграл (3.1) сходится, второй является расходящимся:

iiii
u(x)dx=^-~= =2, I*u²(x)dx= | ~ = + °о.
оо ос
Из теории интегралов по Лебегу известно следующее (см. гл 28):

1. 
   Если функции и (х) и v(x) квадратично интегрируемы в G, то функция a_lu(x) + a₂v(x), где а_и а₂ — произвольные вещественные постоянные, также квадратично интегрируема в G.
   
2. 
   Если функции и(х), v(x) квадратично интегрируемы в G,
   

то интеграл J u(x)v(x)dx сходится и выполняются следующие а
правила:
^ и (х) v (х) dx= J v (х) и (х) dx,
G G
5 [а,«, (х) + а₂и₂ (*)] v (х) dx = a, J и, (ж) v (х) dx-f а₂ $ ы₂ (х) v (х) dx. а о g
Свойство (I) показывает, что множество функций, квадратично интегрируемых в рассматриваемой области G, является линеалом¹). Свойство (II) позволяет определить скалярное произведение двух функций этого множества.
Определение 3.2. Пусть и, v—квадратично интегрируемые функ­ции в области G. Число