I гильбертово пространство

(и, и) = ^ и² (х) dx ^ 0. в
Ясно, что если (и, и) = 0, то и (х) s0. С другой стороны, если
то, как известно из интегрального исчисления, и(х)^0, так как функция непрерывна в 5 по предположению ^I).
Заметим, что из (2.4) и (2.3) немедленно следует, что
(и, а,и, + a₂v₂) = а, (и, v_t) + а₂ (и, v₂), (2.7)
где и, v_lt v₂ являются функциями из L, а а₂—вещественные постоянные. Тогда из (2.4) и (2.7) можно легко видеть, что
(OjUj + а₂и₂, a_su_s + a₄u₄) = a,a_g (u_lt u₃)+
+ ^2^3 («2» W₃) + ^1^-4 («1» «4) "4” ^-2^4 («2» ^4)*
(To есть операция взятия скалярного произведения функций фор­мально совпадает с умножением полиномов.) В частности, для произвольных функций и, v из L и для произвольных веществен­ных постоянных а и b имеем
(аи, bv) = ab(u, v). (2.9)
Скалярное произведение и его свойства позволяют ввести сле­дующее полезное понятие—норму функции.
Определение 2.3. Под нормой функции и из линеала L пони­маем неотрицательное число
II и II = V(и, и) = 5 и² (х) dx. (2.10)
Например, для нормы функции и = sin лх sin пу, определенной в квадрате O^x^l, 0^г/^1, получим
II и 1 =*1/" ^ ^ sin² лх sin² лу dx dy =
о о
= '|/^/Г sin²xttdx- sin² nydy = = у-
о о
Теорема 2.2. Норма (2.10) обладает следующими свойствами (и, v — произвольные функции из L, а—произвольная веществен­ная постоянная):
II «II > 0, (2.11)
|и|] = 0ои(х) = 0 в G, (2.12)
| аи I = | а | • || и ||, | (и, о) |< I u I-И, (2.13), (2.14) IIw + и||^||и||-Н|иЦ (неравенство треугольника), (2.15)
III “II—IN КII ^II- (2-16)
!) Читатель, конечно, заметил, что предположение о непрерывности функций и и v в G ие использовалось в доказательстве, кроме этой последней части. Было достаточно, чтобы соответствующие интегралы были определены. Поэтому в следующей главе не воздшкает трудностей при перенесении основных свойств скалярного произведения на более общий класс функций.
Доказательство *). Свойства (2.11), (2.12) следуют непосредст­венно из определения нормы и свойств скалярного произведения

4. 
   , (2.6). Далее из определения нормы и из (2.9) имеем ||аи||² = —(аи,аи) = а²(и,и), откуда вытекает (2.13).
   

Доказательство неравенства (2.14). Пусть и £ L, v g L—две про­извольные функции. Для любого вещественного числа X, согласно

5. 
   , имеем (u-\-Xv, u + Xv)^ 0. Применяя (2.8), получим (и, и) 4- X (и, и) 4- к (и, v) 4- X² (v, v) ^ 0. Следовательно, имеем
   

(и, и) 4- 2 (и, v) X -f (v, v) X² ^ 0, (2.17)
так как (u,v) = (v,u). Функции u,v произвольны, хотя они все же являются фиксированными функциями из L. Следовательно, (и, и), (и, и) и (и, и) — фиксированные числа. Выражение в левой части неравенства (2.17), содержащее квадрат X, неотрица­тельно для всех вещественных X. Выполнение неравенства возмож­но только в том случае, если дискриминант выражения неполо­жителен, т. е. если (и, vf — (u,u)(v,v)^ 0, или если (и, и)² < (и, и)х X(v, v).
Неравенство (2.14) тогда непосредственно следует из послед­него неравенства, если учесть, что (и, м) = ||и||² и (v, ») = [|»||² в соответствии с определением нормы.
Доказательство неравенства (2.15). Имеем
| и 4- v ||² = (и + v, и 4- v) = (и, и) 4- 2 (и, v) + (v, v) =
= l«||* + 2(«,o)4-|i>p. (2.18)

Из (2.14) следует, что (и, иХ||и|| большим (или равным) числом 2||и\
Заменяя 2 (u,v) в (2.18) получим

II и -f a IP < II и II² + 2II и II • II и II + IIО ||² = (II и II -f II о II)²,
откуда немедленно следует (2.15).
Чтобы доказать неравенство (2.16), рассмотрим вместе с элемен­тами и, v также элементы и — v, v. Из (2.15) имеем |(м — и) 4- -f v I < || и — v || -f I v ||, или || и I ^ I и — v 14-1| v ||, откуда получим || и || —

• 
  II VII ^ И и — и||.
  

Аналогично, рассматривая элементы v—и, и, получим |и|| —

• 
  N<11“ —«11-
  

Неравенство (2.16) прямо следует из двух предыдущих нера­венств.
Пример 2.4. Рассмотрим функции u — cosx, v = x на интервале [О, я]. Тогда

1. 
   и 11= J cos² х dx =
   

О
И = ]/ Ix'dx^y , И+И = ]/1+1^ т
4.47,
F i/ г
(u, и) = 3 xcosxdx = — 2; ||м + у||= у ^ (cos л: + xf dx
=
2 = 1 (и, и)|<||и|.|и|| = я²/Кб « 4.04, 2.82; ж 4.47 в соответствии с (2.14) и (2.15).
/ т+у-⁴ ~²-⁸²-
О
]и +
чевидно, что
+ v к I и |j +!! v |
З
Первая координата. Рис. 1.
амечание 2.1. Понятия скалярного произведения и нормы функции аналогичны подобным понятиям из элементарной вектор­ной алгебры. Свойства нормы аналогичны хорошо известным свойствам длины вектора: рассмотрим векторы и и v на плоскости с точками приложения в начале координат (рис. 1).
Их скалярное произведение опреде­ляется, как известно, соотношением u-v = uucos(p, где и, v—длины векто­ров u, v соответственно, а ф — угол между двумя векторами. Соотношения, аналогичные соотношениям (2.11) —
(2.16) для нормы функции, с очевидностью справедливы и для длины вектора:
а) и^О, причем м = 0 тогда и только тогда, когда и—нулевой вектор (ср. с (2.11) и (2.12));
б
умноженной на
) длина вектора аи равна длине вектора и,
\а\ (ср. с (2.13));
в) |u-v|^uu (ср. (2.14)), так как |coscp|s^l;
г) длина векторов u-j-v не может быть больше, чем сумма длин векторов и и v (ср. с (2.15)), что видно из рис. 1 (треуголь­ник ОАВ)\
д) разность длин двух векторов (или абсолютное значение этой разности) не может превосходить длины разности этих векторов (ср. с (2.16)), см. треугольник О АС на рис. 1.
Таким образом, видно, что и скалярное произведение, и норма функции представляют собой понятия, определенные вполне есте­ственным путем, соответствующим элементарным геометрическим представлениям, на которых они первоначально основывались.

Следующим понятием, вытекающим из элементарных геометри­ческих представлений, является расстояние между двумя функци­ями.
Определение 2.4. Под расстоянием между функциями и, v из линеала L понимается число
р(и, v) = \u—к||, (2.19)
т. е. норма разности этих двух функций.
Пример 2.5. Для расстояния между функциями и, v из приме­ра 2.4 имеем
Л
р² (и, v) = || и— и||² = J (cos л:—л:)² dx = -g- -f 4, о
откуда p(u, V)— ]/"—I—^-+4 «3.98.
Основные свойства расстояния между функциями, рассматри­ваемые в следующей теореме 2.3, следуют непосредственно из опре­деления расстояния между функциями и из свойств нормы (2.11),

12. 
    , (2.13) и (2.15), сформулированных в теореме 2.2.
    

Теорема 2.3. Для произвольных функций и, v, г из L выполня­ется:
р(и, и)>0, (2.20)
р (и, v) = 0 «ф и (х) = v (х), (2.21)
р(и, о)=р(о, и), (2.22)
р(и, г)<р(и, o)+p(w, г). (2.23)
Доказательство. Свойства (2.20) и (2.21) непосредственно вы­текают из определения расстояния (2.19) и из (2.11) и (2.12). Да­лее, из определения расстояния и из соотношения (2.13) при а=—1 следует, чтор(и, к)=||м—и||, р(и, м)=||к—м||=|| — (и—к)||= = |—11-Ц м—и|| = I и—п||, откуда немедленно получается (2.22). Из (2.15) имеем:
р(и, г) = {\и—г|| = I)(u—v) + (v—г)||<||и—v(f4-1|v—z||, (2.24)
что доказывает (2.23), так как сумма последних членов в (2.24) равна в соответствии с определением расстояния числу р (и, к)4-
+ Р(к. г)-
Замечание 2.2. Свойства расстояния (2.20)— (2.23) также имеют простую геометрическую интерпретацию подобно свойствам скаляр­ного произведения и нормы (см. рис. 1). Обозначая через p(u, v) расстояние между концами векторов u, v и началом координат, имеем p(u, v) = p(v, и) (см. (2.22)), так как р(и, v) определяется длиной вектора и — v или вектора V —и, что то же самое. Кроме
того, очевидно, что р (u, v) ^ 0, где р (и, v) = 0 тогда и только тогда, когда и и v совпадают (см. (2.20) и (2.21)). Неравенство p(u, z)^p(u, v) + p(v, г), геометрическое толкование которого очевидно из рис. 2, аналогично (2.23). Таким образом, геометри­ческая интерпретация хорошо помо­гает и в этом случае.
З
р(и,г)

Первая координата Рис. 2.
амечание 2.3. Определение 2.4 позволяет «измерить» с помощью

19. 
    расстояние между двумя функ­циями, принадлежащими L. Говррят, что формулой (2.19) задана метрика линеала, и в этом случае линеал L (или любое другое множество, в кото­ром задана метрика) называется мет­рическим пространством. В общем случае применимо
    

Определение 2.5. Множество М называется метрическим про­странством, если для каждой пары его элементов и, v определе­но число р(и, v), обладающее свойствами (2.20)—(2.23), называе-' мое расстоянием между элементами и, V.
Заметим, что в предыдущем определении не требовалось, что­бы элементы множества М были функциями. Как будет видно позднее, это определение часто используется при работе с метри­ческими пространствами, элементы которого имеют несколько иной характер. В определении 2.5 не предполагалось также, что М должно быть линеалом. В дальнейшем, как только мы встретимся с метрикой, определенной на множестве М, будем считать, что расстояние между любой парой его элементов удовлетворяет тре­бованиям (2.20)—(2.23).
Требования (2.20) — (2.23), которым должно удовлетворять рас­стояние р (и, v), называются аксиомами метрики. (Аналогично, соотношения (2.11) — (2.13) и (2.15), характеризующие норму, называются аксиомами нормы (см. гл. 7).) Если расстояние опре­делено с помощью нормы (2.19), то, как видно из теоремы 2.3, справедливость аксиом метрики следует из выполнения аксиом нормы.
До сих пор в линеале L метрика вводилась формулой (2.19) с помощью нормы I |, определенной в (2.10) ¹). Возможно ввести расстояние в L другими способами, по-прежнему удовлетворяю­щими аксиомам метрики. Например, определим норму L формулой
II ы(/с = max J ы (лг) |. (2.25)
Хй G
^х) В таких случаях говорят, что норма порождается скалярным произве­дением.
(Причина, по которой следует отличать эту норму от первоначаль­ной и обозначать ее индексом С, будет ясна из дальнейшего.) Норма \\и\\с функции u£L получается из функции \и(х)\, непре­рывной в замкнутой области G (в силу предположения непрерыв­ности и{х)), рассмотрением ее максимального значения в G. Не­трудно показать (не будем здесь останавливаться на деталях), что Ни||с удовлетворяет всем четырем аксиомам нормы, что и позво­ляет называть ее нормой.
Согласно вышеизложенному, можно определить в L расстояние формулой
рс (и, v) = || u — v\\_c, (2.26)
или, как следует из (2.25),
рс (и, v) = max | и (х) — v (х) |. (2.27)
А 6 G
Линеал с определенным по формуле (2.27) расстоянием называется линейным пространством С.
Пример 2.6. Для расстояния р_с между функциями и(х) = cos л:, v(x) = x из примеров 2.4 и 2.5 в пространстве С(0, л) имеем рс (и, *>)= 1 + я я» 4.14. В самом деле, на интервале [0, л] функ­ция и(х) = cosx убывает, функция v(x) = x возрастает, а функция | и(х)—у (лг)) = | cos л: — л^- J принимает свое максимальное значение в точке х = я, где | и (я) — v (я) | — | cos л—я| = 1+я.
Заметим, что расстояние между рассматриваемыми функциями различно в пространстве С и в пространстве с метрикой (2.19) (см. пример 2.5). Естественно, то же самое верно и для нормы. Реко­мендуем читателю проверить на примере функций и(х) = cosx, v (х) = х, что I ||_с действительно удовлетворяет (2.11), (2.12), (2.13),
(2.15).
Замечание 2.4. Если функции^ и, v «близки» друг к другу во всех точках замкнутой области G, то расстояние между ними ма­ло и в пространстве С, так как если неравенство \ и(х)—у(х)|^е выполняется в G, то р_с(и, у)<е согласно (2.27).
С другой стороны, если расстояние между функциями и я v мало в пространстве С, то модуль разности функций и и о мал в G, так как из соотношения р_с(и, с)<е следует, что [и(х) —

• 
  o(;t)|<8 всюду в G согласно (2.27).
  

Ситуация будет существенно иной в пространстве с метрикой

19. 
    . Если только мала разность между функциями и, v (по абсолютной величине) всюду в G, то расстояние р (и, v) также мало. В самом деле, если неравенство \и{х)—у (х) | ^ е выполне­
    
20. 
    но всюду в G, то из (2.19) имеем
    

р(н, у) = ||ы—£>| = 1 $[«(*)—V (х)]^гdx ^ л\\г²с1х =