I eyler burchagi nomlari

Reja:
Kirish

I.1. Eyler burchagi nomlari
1.1Eyler burchaklar aylanadigan narsalarning turli xil operatsiyalarini bajarish
Eyler burchaklarini ichki aylanishlar bilan aniqlash

Eyler burchaklari obektning uch o'lchamli Evklid fazosida aylanishini tasvirlaydi. Bunday holda, umumiy markazga ega bo'lgan ikkita to'rtburchaklar koordinatali tizimlar ko'rib chiqiladi: sobit tizim va ob'ekt bilan bog'liq harakatlanuvchi tizim. Sobit koordinatalar tizimi XYZ (egilgan) bilan, mobil tizim esa xyz bilan belgilanadi. Eyler burchaklari - bu sobit tizim bilan hizalanishdan oldin ob'ekt bilan bog'liq bo'lgan harakatlanuvchi koordinatalar tizimi burilish burchaklaridir. Klassik versiyada, birinchi aylanish ob'ekt bilan bog'langan z o'qi atrofida a a burchak ostida, ob'ekt bilan bog'langan x o'qi sobit tizimning XY tekisligiga to'g'ri kelguncha sodir bo'ladi. Bunday tasodif XY va xy tekisliklarining kesishish chizig'i bo'ylab sodir bo'ladi (1-rasmda N chiziq). Keyingi aylanish, ikkala to'rtburchaklar tizimning qo'llaniladigan oqlari hizalanmaguncha, ob'ekt bilan bog'langan x o'qining yangi holati atrofida angle burchak ostida amalga oshiriladi. Bunday holda, ob'ekt bilan bog'langan y o'qi XYZ sobit koordinatalar tizimining xy tekisligida bo'ladi. So'nggi aylanish harakatlanuvchi koordinata tizimining aplikatori o'qining yangi holati atrofida angle burchak ostida amalga oshiriladi (u sobit tizimning bir xil o'qiga to'g'ri keladi), shundan so'ng XY va xy koordinata o'qlari birlashtiriladi.

1. Eyler burchaklar
Bunday aylanishlar komutativ emas va harakatlanuvchi koordinatalar tizimining yakuniy holati aylanishlar tartibiga bog'liq.
Agar harakatlanuvchi koordinata tizimidagi XYZ tizimidagi R (r x, r y, r z) vektorlarining koordinatalari ma'lum bo'lsa va harakatlanuvchi koordinatalar tizimining xyzni sobit koordinatalar tizimiga nisbatan burchaklari (α, β, γ) ma'lum bo'lsa, xyzning sobit koordinatalar tizimidagi bu vektorning koordinatalarini hisoblash mumkin. Buning uchun a, β va γ burchaklari bo'yicha uchta ketma-ket aylanadigan matritsalarni tuzing:
Ushbu matritsalarni teskari tartibda ko'paytirsak, natijada ortogonal matritsani olamiz:
T= T 3 ×T 2 ×T 1,
harakatlanuvchi koordinata tizimining R (r x, r y, r z) vektor koordinatalarini sobit koordinatalar sistemasida bir xil uzunlikdagi N (n x, n y, n z) vektorning koordinatalariga aylantiruvchi:
N \u003dT ×R,
bu erda N va R mos keladigan koordinatalarning matritsa ustunlari.
Eyler burchaklar aylanadigan narsalarning turli xil operatsiyalarini bajarishda eng tabiiy va tushunarli, chunki ular uch o'lchovli grafik tizimlarning ko'rinishlarida kuzatiladigan ob'ektning aylanishiga to'g'ri keladi. Biroq, ularni kompyuter animatsion tizimlarida qo'llash bir qator qiyinchiliklarga duch keladi. Avvalo, bu koordinata tizimining o'qlariga nisbatan ob'ektni aylanishning ma'lum bir ketma-ketligini tanlash zarurati. Agar siz ob'ektni avval X o'qi atrofida, keyin Y o'qi atrofida va nihoyat Z o'qi atrofida aylantirsangiz, u holda ushbu ob'ektni bir xil burchaklarda, lekin boshqa ketma-ketlikda aylantirsangiz, bu bir xil aylanish bo'lmaydi.
Yana bir misolni ko'rib chiqing - kubik animatsiyasini yaratish, u dunyo koordinatalari tizimining Z o'qi atrofida 360 °, masalan, 450 ° burchak atrofida aylanganda. Keling, kub bu burchak ostida aylanishi kerak bo'lgan ikkita asosiy freymni yaratishga harakat qilaylik. Buning uchun MaxScript dasturida standart qutini yarating:
b = qutisi()
Shundan so'ng, animatsiya vaqt jadvalining slayderini 10-freymga o'tkazing, Auto Key rejimini yoqing va buyruqni bajaring:
b.aylanish.z_aylanish \u003d 450
Animatsiyani ijro eting. Ob'ekt faqat 90 ° aylanadi, chunki uning 360 ° burilishi e'tiborga olinmaydi. Endi 3ds Max dastur oynasida ham xuddi shunday qiling. Ob'ektni ikkita asosiy kadrlar orasidagi animatsiya 450 ° burchak ostida sodir bo'ladi. Shunday qilib, MaxScript-ga o'xshash kompyuter grafik dasturlarida Eyler aylanishlaridan foydalanish bir vaqtning o'zida 360 ° dan oshmaydigan burchak bilan aylanish bilan cheklangan. Biroq, bu sizning qo'lingiz bilan ekranning orqasida animatsiya yaratishingizga xalaqit bermaydi.
Eyler burchaklaridagi yana bir muammo Gimbal qulfi yoki mentli qulfning mavjudligi. Uning ko'rinishi ob'ektning aylanish tartibini tanlashga bog'liq. Masalan, avval biz ob'ektni Z o'qi atrofida 140 °, keyin X o'qi atrofida 90 ° burchak bilan, so'ngra Y o'qi atrofida 130 ° burchak bilan aylantiramiz (2-rasm).


Shakl 2. Ob'ektning keyingi burilishlari
Agar hozir biz aylanishlarning bir xil ketma-ketligini, masalan, Z o'qi atrofida 10 ° ga, keyin X o'qi atrofida 90 ° ga, keyin Y o'qi atrofida 0 ° ga takrorlasak, biz bir xil natijani olamiz. Muammo shundaki, X o'qi atrofida aylanish 90 yoki -90 ° ga aylanganda, mahalliy Y aylanish o'qi Z o'qiga parallel bo'ladi, ammo qarama-qarshi yo'nalishda va shuning uchun uning atrofida aylanish Z o'qi atrofida oldingi aylanish bilan zid keladi.
Menteşaning qulfi matrislarda va to'rtburchaklar ichida mavjud emas. Kvaternionlar fazoda ob'ektlarning joylashishi va aylanishini qulay matematik belgilashni ta'minlaydi. Eyler burchaklari bilan taqqoslaganda, kvaternionlar aylanishlarni birlashtirishni osonlashtiradi, shuningdek, boshqa o'qlarda mukammal aylanishdan qat'i nazar, o'z o'qi atrofida aylana olmaslik muammosidan qochadi. Matritsalar bilan taqqoslaganda, ular yanada barqaror va samaraliroq. Kvaternionlar kompyuter grafikasi, robototexnika, o'yin dvigatellari, navigatsiya, molekulyar dinamikada va Euler burchaklari yoki matritsalari bilan bog'liq muammolar yuzaga kelgan joyda aylanishlarni amalga oshirish uchun ishlatiladi.
Fazoda sobit bo'lgan O nuqtada umumiy kelib chiqishiga ega bo'lgan ikkita koordinatali tizimni ko'rib chiqing ("Lotin") x, y, z va tanasi va u bilan qattiq bog'langan ("Yunon") tizimi. Belgilangan nuqtaga ega jism, yuqorida aytib o'tilganidek, uch darajali erkinlikka ega va shuning uchun kosmosdagi o'rnini aniqlash uchun uchta umumiy koordinatani ko'rsatish kerak.
P tekislikni o'qlar bilan kesishguncha torting (V.7-rasm). P tekislik bilan kesishgan chiziq N bilan belgilanadi va tugunlarning chizig'i deyiladi. Eksa va tugunlarning chizig'i orasidagi burchak harf bilan belgilanadi va deyiladi burchagi deyiladi.

Burchakni o'rnatish kosmosdagi tugunlar chizig'ining holatini to'liq aniqlaydi, ammo P tekislikning barchasi burchakni o'zgartirmasdan tugunlarning chizig'iga nisbatan aylanishi mumkin va bundan tashqari, tizim bu burchakni o'zgartirmasdan ham o'z o'qi atrofida aylanishi mumkin. O'qlar va Yunon tizimining P tekisligidagi pozitsiyani aniqlash uchun biz P tekislikdagi tugunlar chizig'i va eksa o'rtasidagi burchakni kiritamiz. Bu burchakka o'zining (yoki toza) aylanish burchagi deyiladi.
Endi burchaklar o'rnatilgandan so'ng, tanada faqat bitta erkinlik darajasi mavjud: bu burchaklarni o'zgartirmasdan, siz tanani tugunlar chizig'i bo'ylab aylantirishingiz mumkin. Ushbu aylanishni tuzatish uchun biz z o'qi va eksa orasidagi boshqa 8 burchakni kiritamiz. Bu burchakka ozuqa burchagi deyiladi. Uch burchakning tayinlanishi yunon tizimining Lotin tizimiga nisbatan pozitsiyasini to'liq aniqlaydi, ya'ni tananing holatini to'liq belgilaydi. Biroq, bu uchta burchak, ularning har biri boshqa ikkita burchakni o'zgartirmasdan o'zgartirilishi mumkinligi ma'nosida mustaqildir. Shu sababli, burchaklar O nuqtasi aniq bo'lgan tananing umumlashtirilgan koordinatalari bo'lib xizmat qilishi mumkin. Burchaklar Eyler burchagi deyiladi.
Albatta, Eyler burchagi umumiy koordinatalarni tanlashning yagona imkoni emas. Parvozlar dinamikasida, masalan, samolyot yoki raketaning harakatini o'rganayotganda, ba'zida turli xil umumlashtirilgan koordinatalar qo'llaniladi: samolyot gorizontal o'qining berilgan kursdan og'ish burchagi (yaw burchagi), gorizontal o'q atrofida aylanish burchagi kursga perpendikulyar, masalan, qanotlar bo'ylab va gorizontaldan (burilish burchagi) burilishni va nihoyat, samolyotning bo'ylama o'qi atrofida burilish burchagini tavsiflovchi (rulon burchagi).
Belgilangan nuqta bilan tananing harakatini o'rganishda, Eyler burchaklarini umumlashtirilgan koordinatalar sifatida olamiz, ya'ni taxmin qilamiz
Burchaklar tezligi tegishli burchaklar joylashgan tekisliklarga perpendikulyar yo'naltirilgan vektorlar bilan ifodalanadi. Shuning uchun burchak tezligi P tekisligiga perpendikulyar yo'naltiriladi, ya'ni eksa bo'ylab; burchak tezligi - tekislikka perpendikulyar, ya'ni z o'qi bo'ylab; va nihoyat, burchak tezligi 0 o'qlar va z orqali o'tadigan tekislikka perpendikulyar yo'naltiriladi, ya'ni tugunlarning chizig'i bo'ylab (V.8-rasm). Eyler burchaklari mustaqil ekanligi sababli, burchak tezliklari O.ning bir nuqtasida tanasi va Euler burchaklari bilan bog'langan kesishgan uchta mustaqil burchak tezligi tizimi bo'lib, biz bu o'qlar bo'yicha o'z navbatida (52) tenglikni olamiz. - Eyler burchaklari va ularning hosilalari orqali.
Agar Eyler burchagi vaqtning funktsiyalari sifatida ma'lum bo'lsa, u holda (53) tenglik bizga vaqt, p, q va r qanday o'zgarishini darhol aniqlashga imkon beradi. Agar, aksincha, vaqt, vaqt o'tishi bilan p, q, r o'zgarishi ma'lum bo'lsa, u holda (53) tengliklar Eyler burchaklari uchun differentsial tenglamalar sistemasidir. Shuning uchun, agar biz yordamchi o'zgaruvchilardan p, q, r vaqt o'zgarishini tavsiflovchi tenglamalarni olsak,
unda bunday tenglamalar



Eqs (53) bilan birgalikda Eyler burchaklarining vaqt o'zgarishini to'liq tasvirlaydi. Bu keyingi tenglamaning maqsadi bo'lgan bunday tenglamalarning kelib chiqishi.
Eyler teoremasi bizga qattiq jismning o'zboshimchalik bilan aylanishini berilgan o'qlar atrofida uchta aylanish ketma-ketligi sifatida tasvirlashga imkon beradi. Qattiqliklar kinematikasida shunday aylanishlarni aniqlaydigan parametrlar tizimi, Eyler burchagi deb nomlangan tizim keng tarqalgan. Bunday holda, ma'lum bir asosda o'zboshimchalik bilan aylanish matritsasi uchta matritsaning mahsuloti sifatida namoyish etiladi, ularning har biri faqat bitta parametrga bog'liq.

Eyler burchaklari elementar tomonidan aniqlanishi mumkin geometriya yoki aylanishlarning tarkibi bo'yicha. Geometrik ta'rif uchta tuzilganligini ko'rsatadi elementar aylanishlar (a o'qlari atrofida aylanishlar koordinatalar tizimi) har qanday maqsadli ramkaga erishish uchun har doim etarli.

Uchta elementar aylanish bo'lishi mumkin tashqi (o'qlar atrofida aylanishlar xyz harakatsiz qoladi deb taxmin qilingan asl koordinata tizimining), yoki ichki (aylanadigan koordinata tizimining o'qlari atrofida aylanishlar XYZ, har bir elementar aylanishdan keyin yo'nalishini o'zgartiradigan harakatlanuvchi tanaga qattiq,).

Eyler burchaklari odatda quyidagicha belgilanadi a, β, γ, yoki ψ, θ, φ. Turli xil mualliflar Eyler burchaklarini aniqlash uchun turli xil aylanish o'qlarining to'plamlarini yoki bir xil burchaklarning turli nomlarini ishlatishi mumkin. Shuning uchun Eyler burchaklarini ishlatadigan har qanday munozaraga har doim ularning ta'rifi qo'yilishi kerak

Aylanish o'qlarini (ichki yoki tashqi) aniqlash uchun ikki xil konventsiyadan foydalanish imkoniyatini ko'rib chiqmasdan, ikkita guruhga bo'lingan o'n ikki aylanish o'qi ketma-ketligi mavjud:

Eylerning to'g'ri burchaklari (z-x-z, x-y-x, y-z-y, z-y-z, x-z-x, y-x-y)
Tait-Bryan burchaklari (x-y-z, y-z-x, z-x-y, x-z-y, z-y-x, y-x-z).
Tayt-Bryan burchaklari ham deyiladi Kardan burchaklari; dengiz burchaklari; sarlavha, balandlik va bank; yoki yaw, pitch va roll. Ba'zan, ketma-ketlikning har ikkala turi "Eyler burchaklari" deb nomlanadi. U holda birinchi guruhning ketma-ketliklari chaqiriladi to'g'ri yoki klassik Eylerning burchaklari.Entsiklopediya site:ewikiuz.top
Asl ramkaning o'qlari quyidagicha belgilanadi x, y, z va aylantirilgan ramkaning o'qlari sifatida X, Y, Z. The geometrik ta'rif (ba'zan statik deb ham yuritiladi) belgilash bilan boshlanadi tugunlar chizig'i (N) tekisliklarning kesishishi sifatida xy va XY (u o'qlarga umumiy perpendikulyar sifatida ham belgilanishi mumkin z va Z va keyin vektor mahsuloti sifatida yoziladi N = z Z). Undan foydalanib, uchta Eylerning burchaklari quyidagicha ta'riflanishi mumkin:
(yoki ) - ning orasidagi burchak x o'qi va N o'qi (x- konventsiya - bu o'rtasida ham belgilanishi mumkin y va N, deb nomlangan y- konventsiya).
(yoki ) - ning orasidagi burchak z o'qi va Z o'qi.
(yoki ) - ning orasidagi burchak N o'qi va X o'qi (x- konventsiya).
Ikkala moslama freymlari orasidagi Eyler burchaklari faqat ikkala ramka bir xil bo'lsa aniqlanadi qo'li.
Ichki aylanishlar bo'yicha konventsiyalar
Ichki aylanishlar - koordinata tizimining o'qlari atrofida yuzaga keladigan elementar aylanishlar XYZ harakatlanuvchi tanaga biriktirilgan. Shuning uchun ular har bir elementar aylanishdan keyin o'z yo'nalishini o'zgartiradilar. The XYZ tizim aylanadi xyz belgilangan. Bilan boshlanadi XYZ ustma-ust xyz, uchta ichki aylanishning tarkibi uchun har qanday maqsad yo'nalishiga erishish uchun foydalanish mumkin XYZ.