I bob. Xatoliklar manbayi va klasifikatsiyasi xatoliklar manbayi 5

1.2 Matrisalarning xos son va xos vektorlarini hisoblash

Agar biror noldan farqli x vektor uchun

(1)

tenglik bajarilsa, u holda son A kvadrat matrisaning xos soni yoki xarakteristik

soni deyiladi. Bu tenglikni qanoatlantiradigan har qanday noldan farqli x vektor A

matrisaning xos soniga mos keladigan xos vektori deyiladi. Ko’rinib turibdiki, agar xos vektor bo’lsa, u holda — ixtiyoriy son) vektor ham xos vektor bo’ladi.Matritsaning xos soni va xos vektori haqidagi ma’lumotlar matematikada va uning boshqa sohalardagi tatbiqlarida ham keng qo’llaniladi. Bu yerda iterasion

prosessning yaqinlashishi va yaqinlashish tezligi V matrisaning moduli bo’yicha eng katta xos sonining miqdoriga bog’liq edi. Astronomiya, mexanika, fizika, ximiyaning qator masalalarida ayrim matrisalarning barcha xos sonlarini va ularga mos keladigan xos vektorlarini toppish talab qilinadi. Bunday masala xos sonlarning to’liq muammosi deyiladi. Ayrim masalalarda esa, masalan, yadro masalasida, matrisaning moduli bo’yicha eng katta yoki eng kichik xos sonini topish talab qilinadi. Tebranuvchi jarayonlarda esa matrisa xos sonlarining modullari bo’yicha ikkita eng kattasini aniqlashga zaruriyat tug’iladi. Matrisalarning bitta yoki bir nechta xos son va xos vektorlarini topish xos sonlarining qismiy muammosi deyiladi. Bir jinsli (1) sistemaning noldan farqli yechimi mavjud bo’lishi uchun

(2)

shart bajarilishi kerak. Bu tenglama odatda A matrisaning asriy (bu termin astronomiyadan kirib qolgan) yoki xarakteristak tenglamasi deyiladi. (2) tenglamannng chap tomoni

(3)

n-darajali ko’phad bo’lib, u A matrisaning xarakteristik ko’phadi deyiladi. Ayrim

hollarda (3) ko’phad o’rnida A matrisaning xos ko’phadi deb ataluvchi

(4)

ko’phad bilan ish ko’riladi. Matrisaning xos sonlari uning xos ko’phadining ildizlari bo’ladi. (4) ko’phad n- darajali bo’lganligi uchun u n ta ildizga ega. A matrisaning xos soniga mos keladigan xos vektorlarini topish uchun

(5)

bir jinsli tenglamalar sistemasning noldan farqli yechimini topish kerak. Shunday

qilib, xos son va xos vektorlarni topish masalasi uch bosqichdan iborat: ning kozffisiyentlarini bevosita hisoblash uchun

ta har xil tartibli determinantlarni hisoblash kerak. Yetarlicha katta n uchun bu masela katta xisoblashlarni talab qiladi.

Viyet teoremasidan foydalgnib, quyidagi tengliklarni yozishimiz mumkin:

,

.

Bu tengliklarni (11.6) tengliklarning birinchisi va (11.7) tekglik bilan solishtirsak

,

Kelib chiqadi.

Shunday qilib, matrisaning barcha xos sonlarining yig’nndisi uning izitrga teng bo’lib, ularning ko’paytmasi shu matrisaning determinantiga teng. Bu yerdan xususiy holda quyidagi kelib chiqadi: A matrisaning hech bo’lmaganda birorta xos soni nolga teng bo’lishi uchun bo’lishi zarur va kifoyadir.

Xos son va xos vektorlarni topish metodlari ikki gruppaga bo’linadi: aniq yoki to’g’ri metodlar va iterasion metodlar. Biriichi gruppaga kiradigan metodlar bo’yicha matrisaning xos ko’phadi topiladi (ya’ni koeffisiyentlar hisoblanadn), keyin uning ildizlarini topib xos sonlarni hosil qilinadi va nihoyat, xos sonlardan foydalanib xos vektorlar quriladi. Bu metodlarning aniq metodlar deyilishiga sabab shundan iboratki, agar matrisa elementlari aniq berilgan bo’lsa va hisoblashlar aniq olib borilsa, natijada xarakteristik ko’phad koeffisiyentlarining qiymatlari ham aniq topiladi va xos vektorlarning komponentlari xos sonlar orqali aniq formulalar bilan ifodalanadi. Aniq metodlar, odatda, xos sonlarning to’liq muammosini yechish uchun qo’llaniladi.

Iterasion metodlarda xarakteristik sonlar xarakteris-tik ko’phad koeffisiyentlarini aniqlamasdan turib, bevosita hisoblanadi. Bu esa hisoblash masa-lasini juda soddalashtiradi: yuqori darajali algebraik tenglamalarni yechishdan ozod qiladi. Iterasion metodlarda xos sonlarni hisoblash bilan bir vaqtda xos vektorlar ham topiladi. Bu metodlarning sxemasi iterasion xarakterga ega. Bu metodlarda xos son va xos vektorlar sonli va vektorlar ketma-ketligining limiti sifatida topiladi.