I bob. Umumiy tushunchalar

1- misol. Ushbu to‘plamlar berilgan bo‘lsin: , , , , , , bu yerda – natural son, – butun son, – tub son. Berilgan oltita to‘plamdan to‘rttasi – , , va to‘plamlar chekli, va to‘plamlar esa cheksiz to‘plamlardir. Bundan tashqari, , , va . ■

Berilgan to‘plamga element tegishliligi yoki ko‘rinishda belgilanadi va “ tegishli ” deb o‘qiladi. “Tegishli” iborasining o‘rniga, ba’zan, “qarashli” yoki “ta’luqli” iborasi ham qo‘llaniladi. Qandaydir ning to‘plamga tegishli emasligi, ya’ni ning to‘plam elementi bo‘lmasligi , yoki ko‘rinishda yoziladi. Masalan, to‘plam uchun , , va (bularni umumlashtirib, ko‘rinishda yozish ham mumkin), lekin va (ya’ni, ).

Tabiiyki, turli to‘plamlar uchun umumiy elementlar mavjud bo‘lishi mumkin. Masalan, va to‘plamlarda elementlar ikkala to‘plamda ham mavjuddir.

Agar to‘plamning har bir elementi to‘plamda ham bor bo‘lsa, u holda to‘plam to‘plamning qism to‘plami deb aytiladi. to‘plam to‘plamning qism to‘plami ekanligi yoki ko‘rinishda belgilanadi. Tabiiyki, bu belgilashlar va to‘plamlarning teng bo‘lgan holini ham nazarda tutadi. va bo‘lishidan kelib chiqadi. Bu tenglik to‘plamning o‘zi o‘zining qism to‘plami bo‘la olishi mumkinligini ko‘rsatadi, ya’ni (yoki ) ko‘rinishdagi yozuv ham ma’noga egadir. Har qanday to‘plamning o‘zi o‘zining qism to‘plami bo‘la olishi to‘plamlarning refleksivlik xossasi deb ataladi.

to‘plamning hamma elementlari to‘plamda bor bo‘lib, shu bilan birga to‘plamda ga kirmagan element(lar) ham topilsa, u holda to‘plam to‘plamning xos qism to‘plami deyiladi. to‘plam to‘plamning xos qism to‘plami bo‘lishi yoki ko‘rinishda belgilanadi.

Ta’kidlash kerakki, yoki deb yozish mumkin emas (qiyoslang: haqiqiy son bo‘lsa, u holda yoki yozuv not’g‘ri). Shuning uchun, bu holatni ifodalash maqsadida, har qanday to‘plam “o‘zi o‘zining xosmas qismi” degan iboradan foydalaniladi.

To‘plamlar nazariyasida bo‘sh to‘plam har qanday bo‘sh bo‘lmagan to‘plamning qism to‘plami deb qaraladi, ya’ni . Tabiiyki, bo‘sh to‘plamning quvvati nolga teng, ammo bo‘sh to‘plamni yagona element sifatida saqlovchi to‘plamning quvvati birga tengdir, ya’ni , lekin .

Qandaydir tasdiqning o‘rinli bo‘lishidan boshqa tasdiqning o‘rinli bo‘lishi kelib chiqsa, bu holat deb belgilanadi. Masalan, . Agar va tasdiqlar uchun va bo‘lsa, bu tasdiqlar o‘zaro ekvivalent tasdiqlar deb ataladi. va tasdiqlarning o‘zaro ekvivalentligi deb belgilanadi (masalan, [14] kitobning mulohazalar algebrasi qismiga qarang).