|
Masalaga muammo sifatida yondashish usuli: Muammoli vaziyatni tahlil qilish ® Muammo qo‘yilishi ® Yetishmaydigan ma’lumotlarni izlash va gipotezalarni (ilmiy taxminlarni) shakllantirish ® Gipotezalarni tekshirish va muammoli vaziyatga oid yangi bilimlarga ega bo‘lish ® Muammoni masalaga aylantirish ® Masala yechilishining usulini izlash ® Yechish jarayoni ® Olingan natijani tekshirish ® Yechimning to‘g‘riligini asoslash.
An’anaviy yondashishda o‘quvchining masala yechish bilan bog‘liq o‘quv faoliyati reproduktiv xarakterga ega bo‘lib, u o‘zini bajaruvchi sifatida namoyon etadi. Tadqiq etish elementlari faqat masala shartlarini tahlil qilgandagina namoyon bo‘ladi. Standart masalalarni yechish-tabiati nostandart bo‘lgan, kundalik hayotda kam uchraydigan masalalarni yechishga aylangan. Shuning uchun ham ayrim o‘quv va ayniqsa, amaliy masalalarga muammoli masala sifatida yondashish lozim
1.1-§. Tenzor va ular ustida amallar. Simmetrik va antisimmetrik tenzorlar.
Shunday fizik jarayonlar borki ulardagi tekshirilayotgan obyektning xarakteristikalari tenzor tushunchasiga olib keladi. Ravshanki obyektning xarakteristikasi invariantlik xususiyatga ega bo’lishi kerak. Ya’ni koordinatalar sistemasini tanlashga bog‘liq bo’lmasligi lozim. Fizikadagi skalyar miqdorlar turkumiga kiruvchi massa, zaryad va h.k. lar invariantligi o‘z-o‘zidan ravshan. Tezlik, tezlanish kabi miqdorlar vektor kattaliklar bo'lib, koordinata sistemasiga nisbatan uchlik son orqali beriladi va bu sonlar koordinatalami burishda qonuniyatlar bo‘yicha o‘zgaradi. Bu miqdorlarning invariantligi shu bilan ifodalanadiki vektor koordinatalari o‘zgargani bilan vektor yo'nalishga ega bo’lgan kesma, o’zgarmas bo‘ladi. Fizikada skalyar va vektor miqdorlardan tashqari murakkabroq bo‘lgan obyektlar ham uchraydi.
Tenzor (lot. tensus — kuchlanish, taranglash) — vektor tushunchasini umumlashtirib, bir necha maʼnoda qoʻllanib kelinayotgan matematik atama. Bu atama tenzorlar hisobiga koordinatalarning bir tizimidan ikkinchi tizimiga oʻtganda maxsus qonun boʻyicha oʻzgaradigan miqdor (kattalik)larni bildiradi. Masalan: tutash muhitlar mexanikasida qayishqoq (egiluvchan) jismning holatini ifodalovchi miqsor (deformatsiya tenzori) yoki qattiq jism massasining olingan nuqtaga nisbatan taqsimlanishini ifodalovchi miqdor (inersiya tenzori), shuningdek, tutash jismning biror nuktasida kuchlanishlarni ifodalovchi miqdorlar (kuchlanishlar tenzori).
Ta’rif: Koordinata sistemasini tanlanishiga bog’liq bo’lmagan va diadalarning ushbu
(1.1)
chiziqli ifodasi ko’rinishida beriladigan miqdor ikkinchi rang tenzor deb atalai.
Ta’rif: Ikkita va lar orqali tuzilgan ushbu ifoda diada deyiladi. diadaning chap vektori, diadaning o’ng vektori deyiladi. diadik ko’paytma belgisi, sonlar to’plami esa D ning komponentlari deyiladi.
Ta’rif: va lardan tuzilgan diada birlik diada deyiladi.
(1.1) ifadadagi diadalar oldidagi koeffisientlar – tenzorning tashkil etuvchilari 4 xil bo’lib, kontravariant, kovariant, va lar esa aralash komponentalar deb ataladi.
Ikkinchi rang tеnzor komponеntalarining indеksi 1, 2, 3 qiymatlarni qabul qilgani tufayli, unga tеgishli komponеntalarning soni ta bo’ladi.
Ta’rifga ko’ra, tеnzor invariant miqdordir. Shu sababli uning tashkil etuvchilari va diadalar koordinata sistеmasi almashtirilganda o’zaro tеskari matritsalar yordamida almashtiriladi. Masalan, tеnzorning ta’rifiga va ko’ra o’rinli bo’lgan
munosabatlardan quyidagi almashtirish qoidasi kеlib chiqadi.
(1.2)
Ikkinchi tomondan
almashtirish formulasi o’rinli ekanligini ko’ramiz. Ushbu diadaning almashtirish matrisalari va (1.2) formuladagi matrisalar o’zaro tеskari matrisalardir:
Agar formulalarga ko’ra
ekanligini nazarda tutsak, quyidagi munosabatlar hosil qilinadi.
(1.3)
Tenzor komponentalari uchun indekslarni ko’tarish (tushirish) qoidasi o’rinlidir. Masalan, (1.1) dan quyidagi munosabatlar kelib chiqadi;
Bu yerda befarq indekslardir. Agar ularning o’rnini almashtirsak, quyidagi tenglik hosil bo’ladi.
(1.4)
Kovariant va aralash komponentalarda ham indekslarni ko’taris yoki tushirish shunga o’xshash bajariladi.
To’g’ri burchakli dekart koordinatalar sistemasida tengligidan muayyan indeksni yuqorida yoki quyida yozisning farqi yo’q, yani
tenglik o’rinli bo’ladi.
Yuqorida olingan munosabatlar tenzorni boshqacha ta’riflash mmkinligini anglatadi. Buni quyida rang poliada yordamida ham tenzor tushunchasini kiritish mumkin.
Ta’rif: Koordinata sistemasini tanlanishiga bog’liq bo’lmagan va muayyan koordinata sistemasida rang poliadalarning ushbu
(1.5)
chiziqli ifodalar shaklida beriladigan miqdor rang tenzor deb ataladi.
Ta’rifga ko’ra (1.5) formulada poliadalarning мф bazis vektorlar yordamida hosil qilish mumkin bo’lgan barcha chiziqli ifodalar nazarda tutiladi. Mazkur (1.5) chiziqli ifodalarning barcha indekslari yuqorida joylashgan koeffitsientlari tenzorning kontravariant, barcha indekslari quyida joylashgani – kovariant va indekslari yuqorida ham, quyida ham joylashganlari – aralash komponentalari deb ataladi. Demak, rang tenzor o’zining tashkil etuvchiari – komponentalari bilan aniqlanadi. Muayyan xildagi komponentalarning soni ga teng bo’adi.
Ushbu ta’rif bo’lsa ham o’rinli. Agar bo’lsa, tenzor birinchi rang ob’yekt, yani vektor bo’ladi:
Agar bo’lsa, tenzor nolinchi rang ob’yekt – bir son bilan aniqlanuvchi invariant miqdor, yani skalyar bo’ladi.
Ikkinchi rang tenzor uchun yuqorida keltirilgan barcha xossalar rang tenzor uchun ham o’rinli. Masalan, tenzor komponentalarini almashtirish qoidalari (1.2) va (1.3) kabi ushbu
(1.6)
(1.7)
formulalar bilan aniqlanadi. Indekslarni ko’tarish (tushurish) esa, (1.4) formula kabi ushbu
(1.8)
qoidaga binoan bajariladi.
Tenzorning ikkinchi ta’rifi (1.6) va (1.7) almashtirish qoidalaridan foydalanib beriladi.
Ta’rif: Muayyan koordinatalar sistemasida ta son tashkil etuvchilari berilgan va koordinatalar sistemasi almashtirilganda mazkur komponentalar (1.6) va (1.7) formulalarga binoan o’zgaradigan miqdor rang tenzor deb ataladi.
Ushbu ta’rifga ko’ra, tenzor komponentalari va tenzorning invariantligni taminlovchi almashtirish qoidalari beriladi. Birinchi ta’rifda esa, uning invariant bo’lishi talab etiladi. Invariantlik esa chiziqli ifodani hosil qiluvchi poliada va koeffitsientlarni almashtirish qoidalari, yuqorida ko’rganimizdek, o’zaro teskari matritsalar bilan aniqlashi evaziga bajariladi.
Tenzorlarning yoyilmasini normalangan bazislar
orqali ham yozish mumkin.
Masalan,
Ta’rif: Tenzorning so’nngi ko’rinishida normalangan bazislar oldidagi koeffisientlar
tenzorning fizik komponentalari deb ataladi.
Tenzorning boshqa xil fizik komponentalari ham shunga o’xshash yoziladi:
Tenzorlar ustida quyidagi amallarni bajarish mumkin.
Do'stlaringiz bilan baham: |
