I bob qatorlar haqida tushuncha va ularning yaqinlashuvchiligi. Qatorlarning yaqinlashish alomatlari. II bob

Solenoidal vektor maydon .
Agar V sohada 𝑑𝑖𝑣 (𝑀) = 0
tenglik о‘rinli bо‘lsa , a(M) vektо‘r maydon V sohada solenoidal (vektor) maydon
deyiladi. Solenoidal maydon
(𝑀)= 𝑟𝑜𝑡 (𝑀)
tenglikni qanoatlantiradigan (𝑀) vektor potensialga ega bо‘ladi.
Vektor potensial qо„shiluvchi sifatida olingan ixtiyoriy skalyar maydonning
gradiyenti aniqligida topilada. Markazi koordinatalar boshi 0 da bо„lgan “yulduzli”
sohada vektor potensialining qiymatlaridan biri
(𝑀) =
formula bilan topiladi,bunda
= 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 , 𝑀 (𝑥, 𝑦, 𝑧,) 0 ≤ 𝑡 ≤ 1
bо‘lganda 𝑀¹(𝑡𝑥, 𝑡𝑦, 𝑡𝑧) 0𝑀 kesmada о‘zgaradi.
2.2 Garmonik maydon.
V sohada
∆𝜑 (𝑀) = 0
Laplas tenglamasini qanoatlantiradigan 𝜑(M) skalyar maydon garmonik maydon
deyiladi. 𝜑−garmonik maydon bо‘lganda 𝑎 = 𝑔𝑟𝑎𝑑𝜑(𝑀) vector maydon ham
garmonik maydon deyiladi.
Garmonik vektor maydon bir vaqtda ham potensial,ham solenoidal maydon bо‘ladi.
𝑓(𝑀) − 𝑉 sohada aniqlangan funksiya bо‘lsin.
V sohada
∆𝜑 (𝑀) = 𝑓( 𝑀)
tenglik о‘rinli bо‘lsa , 𝜑(𝑀) skalyar maydon Puasson tenglamasini qanoatlantiradi deyiladi.
Misollar:
1 – masala.
Vektor maydonning 𝑢 = х²+ у²− 2𝑧 potensiali berilgan.
a)sirt sathi tenglamasi va ular orasidan М₀(1,1/2, 5) , М₁(2, 1, −1) , М₂(2, 4, 3) nuqtalardan о‘tuvchi sirtlar tenglamasi yozilsin.
Yechish : Sath sirtlari uch о‘lchovli Evklid fazosidagi har bir nuqtada
𝑢 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = С
tenglik bilan aniqlanuvchi sirtlar bо‘ladi, bunda C – о‘zgarmas son. х²+ у²−2𝑧 = С yoki z =(x²+y²−C)/2
Bu tenglama OZ о„qi atrofida aylanishdan hosil bо‘lgan paraboloidlar oilasi tenglamasini aniqlaydi.C– о‘zgarmasning berilgan nuqtalarga mos keluvchi qiymatini topamiz
−М₀ nuqta uchun, С = −35/4 𝑧 =(𝑥 ²+𝑦 ² )/2+35/8;
−М₁ nuqta uchun, С = 7, 𝑧 =(𝑥 ²+𝑦 ²)/2−7/2;
Bu paraboloidlar uchlari mos ravishda quyidagi nuqtalarda joylashgan:
А₁(О, О,35/8), А₂(О, О, −7/2), А₃(О, О, −7)
b). Berilgan potentsialga kо„ra vektor maydon topilsin. Skalyar maydoning gradienti potentsial maydonni tashkil etadi:
𝑢( 𝑥, 𝑦, 𝑧 )=𝜕𝑢/𝜕Х𝑖 +𝜕𝑢/𝜕У𝑗 +𝜕𝑢/𝜕𝑍𝑘.
Berilgan potentsial uchun 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑢 = 2𝑥 𝑖 + 2𝑦𝑗 −2 𝑘;
Demak, izlangan vektor maydon 𝐹 = 2 𝑥 𝑖 + 2𝑦𝑗 − 2 𝑘;
c). Bu vektor maydonning vektor chiziqlari tenglamasi topilsin.
Vektor chiziqlar differensial tenglamalari qо‘yidagi kо‘rinishda bо‘ladi;
= =
Berilgan vektor maydon uchun
= = yoki
Bundan esa

Ya'ni vektor chiziqlari uch о„lchovli Evklid fazosida
С₁𝑥 = 𝑒^-z va С₂𝑦 = 𝑒^-z sirtlari kesishidan hosil bо„lgan chiziqlardan iboratdir.С₁= С₂= 1 da vektor chiziqlar x=y tekisligida joylashadilar.
d) 𝑢 = 𝑥²+𝑦²− 2𝑧 skalyar maydonning М₀(1,1/2,5) nuqtadagi, yо‘nalish bо‘ylab о‘zgarishi tezligini toping. Maydonning М0nuqtadagi eng katta о‘zgarishi nimaga teng?
Yо‘nalish bо‘yicha hosilani topamiz: 𝜕𝑢/𝜕𝑙=(𝜕𝑢/𝜕𝑥)𝑐𝑜𝑠𝛼+(𝜕𝑢/𝜕𝑦)𝑐𝑜𝑠𝛽+(𝜕𝑢/𝜕𝑧)𝑐𝑜𝑠𝛾
Bu yerda 𝑐𝑜𝑠 𝛼 , 𝑐𝑜𝑠 𝛽 , 𝑐𝑜𝑠 lar М₁М₂ vektorning yо‘naltiruvchi kosinuslari.
=( 2 − 2; 4 − 1; 3 + 1) = (0; 3; 4;),
= = 5.
=0, , =
= y-
y- = -1
nuqtadagi eng katta о„zgarish:
𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑈 М₀ = _(1,1/2,5) = 3
e) vektor maydonning М₁ nuqtadan М₂ nuqtagacha kо‘chishda bajargan ishini hisoblang.
vektor maydonning chiziq bо‘ylab bajargan ishi:
A=∫_L d =∫_L 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑈 d =∫_L + + =∫_Ldu=U(M₂) - U(M₁)
Bundan esa 𝑈 𝑋, 𝑌, 𝑍 = 𝑋²+ 𝑌²− 2𝑍 bо‘lgani uchun vektor maydonning bajargan ishi
А =4 +16 − 6 − 4 + 1 + 2 = 7.
2 – masala.
М = (х + ху²) +(𝑦 – 𝑦х² ) + (𝑧 – 3)
vektor maydonning divergensiyasi va uyurmasini М₀ (−1,1,2) nuqtada toping.
Yechish:
𝑑𝑖𝑣 (𝑀₀) =𝜕𝑎_x /𝜕𝑥+𝜕𝑎_y/𝜕𝑦+𝜕𝑎_Ғ/𝜕𝑧= 1 + 𝑦²+ 1 – 𝑥²+ 1 == 3 + 𝑦²−𝑥²;
𝑑𝑖𝑣 (𝑀₀)= 3 + 1 − 1 = 3
rot (𝑀) = =−4 ;

rot (𝑀₀)=4 .

3 – masala.
(𝑀) = (𝑥+𝑥𝑦² )𝑖 +(𝑦 – 𝑦𝑥² ) +(𝑧-3) vektor maydonning,
𝑥2+ 𝑦2= 𝑧2, 𝑧 ≥ о sirtning z=1 tekislik kesgan qismidan tashqi normal
yо‘nalishi bо‘ylab oqib chiqqan oqimi hisoblansin.
Yechish:
П=∫∫_(s) (M)d =∯_(∑) (M)d -∫∫_(s1) (M)d
J₁=∯_(∑) (M)d J₂=∫∫_(s1) (M)d belgilashlar kiritamiz.
Bu yerda ∑ - konus sirti va z = 1 tekisliklar birgalikda tashkil etgan yopiq sirt 𝑆₁: 𝑧 = 1 tekislikning konus bilan kesilgan qismi.
Gauss – Ostrogradskiy formulasiga kо‘ra
J₁=∭_(Ω) 𝑑𝑖𝑣 (𝑀) 𝑑Ω=∭_(Ω)(3+y²-x²)dxdydz=
= = ( ) = ;
J₂=∬_D(1-3)dxdy=-2∬_D dxdy=-2π
Chunki, ∬_D dxdy-S₁ sirtning ХОУ tekisligiga proyeksiyasi bо‘lgan D: x²+y²=1
doiraning yuziga teng.
Topilgan J₁ va J₂ larning qiymatlarini oqimning formulasiga qо‘yib
П= J₁- J₂= π-(-2π)=3 π
ni topamiz.