I bob qatorlar haqida tushuncha va ularning yaqinlashuvchiligi. Qatorlarning yaqinlashish alomatlari. II bob

1-ta`rif. Agar da ketma-ketlik S ga yaqinlashsa, (1) qator yaqinlashuvchi deyiladi, S uning yig`indisi deyiladi:

Agar ketma-ketlik chekli limitga ega bo`lmasa (limit mavjud bo`lmasa yoki cheksiz bo`lsa), (1) qator uzoqlashuvchi deyiladi.
1-misol. Ushbu qator uchun
bo`lib,

bo`ladi. Demak, berilgan qator yaqinlashuvchi va uning yig`indisi 1 ga teng:

2-misol. Quyidagi qator uzoqlashuvchi bo`ladi, chunki
uchun
1.2. Yaqinlashuvchi qatorlarning xossalari.
1-xossa. Agar
qator yaqinlashuvchi bo`lib, uning yig`indisi S ga teng bo`lsa, u holda

qator ham yaqinlashuvchi va uning yig`indisi gat eng bo`ladi, bunda -o`zgarmas son.
2-xossa. Agar
qatorlar yaqinlashuvchi bo`lib, ularning yig`indisi mos ravishda S<sub>1</sub> va S<sub>2</sub> ga teng bo`lsa, u holda

qator ham yaqinlashuvchi va uning yig`indisi S<sub>1</sub> +S<sub>2</sub> ga teng bo`ladi.
3-xossa. Agar
qator yaqinlashuvchi bo`lsa, da a_n nolga intiladi:

Eslatma. Qatorning umumiy hadi ning da nolga intilishidan uning yaqinlashuv
4-xossa. Aytaylik,
(1)
qator berilgan bo`lsin. Bu qatorning hadlarini guruhlab quyidagi
(4)
Qatorni hosil qilamiz, bunda bo`lib, -natural sonlar ketma-ketligi
{n} ning qismiy ketma-ketligi.
Agar (1) qator yaqinlashuvchi bo`lib, uning yig`indisi S ga teng bo`lsa, u holda
(4) qator ham yaqinlashuvchi va yig`indisi S ga teng bo`ladi.
Qatorning yaqinlashuvchanligi. Koshi teoremasi. Faraz qilaylik,

qator berilgan bo`lsin. Ma`lumki, bu qatorning yaqinlashuvchanligi ushbu
(n=1,2,3,…..)
ketma-ketlikning da chekli limitga ega bo`lishidan iborat.
Sonlar ketma-ketligining chekli limitga ega bo`lishi haqida Koshi teoremasi, ya`ni
ketma-ketlikning da chekli limitga ega bo`lishi uchun
da

tengliksizlikning bajarilishi zarur va yetarlidir.
Bundan esa qator yaqinlashuvchiligini ifodalaydigan quyidagi teorema kelib chiqadi.