I bob. Metrik fazolar

Misollar. 2.16. sonlar o‘qida ixtiyoriy interval ochiq to‘plamdir. Haqiqatan, agar desak, son uchun .
2.17. fazodagi funksiyani olib, tayinlaymiz va orqali shartni qanoatlantiruvchi funksiyalar to‘plamini belgilaymiz. U holda ochiq to‘plam bo‘ladi.
2.4-teorema. to‘plam ochiq bo‘lishi uchun uning butun fazogacha to‘ldiruvchisi yopiq bo‘lishi zarur va yetarli.
Isbot. Zaruriyligi. ochiq to‘plam bo‘lsin. U holda dan olingan har bir nuqta o‘zining biror atrofi bilan ga tegishli bo‘ladi, ya’ni . Shuning uchun ga tegishli bo‘lmagan nuqta uchun urinish nuqtasi bo‘la olmaydi, ya’ni yopiq to‘plam.
Yetarliligi. yopiq to‘plam bo‘lsin. U holda uning o‘ziga tegishli bo‘lmagan urinish nuqtasi yo‘q, ya’ni har bir uchun shunday atrof mavjud bo‘lib, bo‘ladi. Demak, ochiq to‘plam. ∆
2.18. Bo‘sh to‘plam va fazo yopiq to‘plamlardir. Ular biri-ikkinchisining to‘ldiruvchisi bo‘lgani uchun 2.4-teoremaga ko‘ra va lar ochiq to‘plamlar ham bo‘ladi.
Ikkilik prinsiplari hamda 2.3 va 2.4-teoremalar natijasi sifatida quyidagi teoremani keltiramiz.
2.5-teorema. Ixtiyoriy sondagi ochiq to‘plamlar yig‘indisi va chekli sondagi ochiq to‘plamlar kesishmasi yana ochiq to‘plamdir.


2.4. Sonlar o‘qidagi ochiq va yopiq to‘plamlar
Ixtiyoriy metrik fazoda, hattoki Evklid fazosida ham, ochiq va yopiq to‘plamlar strukturasi, umuman olganda, juda murakkab. Ammo, bir o‘lchamli Evklid fazosida, ya’ni sonlar o‘qida barcha ochiq to‘plamlarni (shu jumladan yopiq to‘plamlarni), tavsiflash qiyin emas. Sonlar o‘qidagi ochiq to‘plamlar tavsifi quyidagi teorema orqali ifodalanadi.