I bob. Lokal modul uzluksizlik va uning asosiy xossalari

Javob: bu yerda

4-misol. Chegaralangan va chegarasi bo’lakli silliq bo’lgan sohada quyidagi elliptik tenglamalar sistemasining umumiy yechimini toping [3]:

Yechilishi:u(x,y)=e^ax+by U(x,y), v(x,y)=e^ax+by V(x,y) deb olaylik. U holda

Bu yerdan


Endi, b=-2, a=0 olsak va G₁(x,y)=e^-2y g₁(x,y), G₂(x,y)=e^-2y g₂(x,y) deb belgilasak, u holda quyidagi tenglamalar sistemasiga kelamiz:

Quyidagi almashtirishlarni kiritamiz:
W=U+iV, 2G=G₁+G₂, z=x+iy, t= ,
Natijada berilgan tenglamalar sistemasi ushbu ko’rinishga keladi:

Ushbu tenglamaning xususiy yechimi ekanidan, umumiy yechimni ko’rinishida izlash mumkin. Bu yerda bir jinsli yoki Koshi-Riman tenglamalar sistemasi ning umumiy yechimi. Bu yechim ixtiyoriy analitik funksiyadan iborat bo’lgani uchun (1.4.1) tenglamaning umumiy yechimi quyidagi ko’rinishda bo’ladi:

W=e^2y (u(x,y)+v(x,y))= e^2yw(z), 2G(x,y)=e^-2y (g₁(x,y)+ g₂(x,y)) ekanidan

bu yerda 2g(x,y)= g₁(x,y)+ g₂(x,y), ekanligi kelib chiqadi. Bundan esa
u(x,y)=Re(w(z)), v(x,y)=Im(w(z)).

Javob: u(x,y)=Re(w(z)), v(x,y)=Im(w(z)), bu yerda

5-misol. Chegaralangan va chegarasi bo’lakli silliq bo’lgan sohada quyidagi elliptik tenglamalar sistemasining umumiy yechimini toping [3].

Yechilishi: u(x,y)=e^cx+by U(x,y), v(x,y)=e^cx+by V(x,y) deb olaylik. U holda

Bu yerdan,

Endi, b=a, c=0 olsak va G₁(x,y)=e^ay g₁(x,y), G₂(x,y)=e^ay g₂(x,y) deb belgilasak, u holda quyidagi tenglamalar sistemasiga kelamiz:

Quyidagi almashtirishlarni kiritamiz:
t= ,
Natijada berilgan tenglamalar sistemasi ushbu ko’rinishga keladi:

Ushbu tenglamaning xususiy yechimi ekanidan, umumiy yechimni ko’rinishida izlash mumkin. Bu yerda bir jinsli yoki Koshi-Riman tenglamalar sistemasi ning umumiy yechimi. Bu yechim ixtiyoriy analitik funksiyadan iborat bo’lgani uchun (1.4.1) tenglamaning umumiy yechimi quyidagi ko’rinishda bo’ladi:

ekanidan

bu yerda , ekanligi kelib chiqadi. Bundan esa