I bob. Funksiyaning uzluksizligi

Teorema. (Veyershtrassning birinchi teoremasi). Agar funksiya segmentda aniqlangan va uzluksiz bo’lsa, funksiya shu segmentda chegaralangan bo’ladi.
Isbot. Teoremani teskaridan faraz qilish orqali isbotlaymiz. Faraz qilaylik funksiya yuqoridan chegaralanmagan bo’lsin. U holda ixtiyoriy n son uchun f(x_n)>n ni qanoatlantiradigan nuqta topiladi. Bolsano-Veyershtrass teoremasiga binoan ( ) ketma-ketlikdan yaqinlashuvchi ( ) qismiy ketma-ketlik ajratib olish mumkin. =  deylik. Funksiya uzluksiz bo’lganligi uchun f(x ) f( ) bo’ladi. Ikkinchi tomondan f( )>n_k dan f( ) kelib chiqadi. Bu qarama-qarshilik farazimizning noto’g’ri ekanligini ko’rsatadi.
Eslatma: Teoremadagi har bir shart muhim bo’lib, ularning birortasi bajarilmasa teoremaning xulosasi ham o’rinli bo’lmasligi mumkin.
Misol. funksiya qaysi oraliqda uzluksiz?
funksiya (- ) da uzluksiz, lekin chegaralanmagan.
Misol. f(x)= funksiya chegaralanganmi?
f(x)= funksiya da aniqlangan, lekin chegaralanmagan.
Teorema. (Veyershtrassning ikkinchi teoremasi). Agar funksiya segmentda aniqlangan va uzluksiz bo’lsa, funksiya shu segmentda o’zining aniq quyi va aniq yuqori chegaralariga yerishadi.
Isbot. Teoremaning xulosasini quyidagicha aytish mumkin, ya’ni segmentda shunday x₁ va x₂ nuqtalar topiladiki,

bo’ladi (ya’ni funksiyaning [a;b] segmentdagi eng katta qiymati, f(x₂) esa eng kichik qiymati).
funksiya da uzluksiz bo’lgani uchun Veyershtrassning birinchi teoremasiga binoan da chegaralangan, demak aniq yuqori va aniq quyi chegaralarga ega:
,
deylik.
Endi da biror x₁ nuqtasi uchun bo’lishini ko’rsatamiz. Teskarisini faraz qilaylik, ya’ni barcha x larda bo’lsin.
funksiyani tuzib olaylik. funksiya segmentda uzluksiz, Veyershtrassning birinchi teoremasiga binoan u quyidan chegaralangan bo’ladi, ya’ni shunday son topilib, bo’ladi. Bundan bo’lib, funksiyaning yuqori chegarasi ekanligi kelib chiqadi. Bu qarama-qarshilik farazimizning noto’g’ri ekanligini ko’rsatadi.