I bob. Chiziqli tenglamalar sistemasi

1.1 Bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasini yechimlar tizimi

Bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasining fundamental yechimlari sistemasi yoki tizimi deb, uning chiziqli bog‘liq bo‘lmagan nolmas F_1, F₂, …, F_κ yechimlariga aytiladiki, sistemaning har bir yechimi ushbu yechimlarning chiziqli kombinatsiyasi ko‘rinishida aniqlanishi mumkin.

Bir jinsli sistema shartlar vektorlari a₁, a₂, …, a_m sistemasining ran-gi r ga teng bo‘lib, sistema noma’lumlari soni n dan kichik bo‘lsin. Bunday bir jinsli sistema o‘zining fundamental yechimlari tizimi mav-judligi bilan xarakterlanadi va tizim har biri m o‘lchovli m – r nolmas vektorlardan tarkib topadi.

Bir jinsli sistemaning fundamental yechimlari tizimi quyidagicha quriladi:

1. Bir jinsli sistemaning umumiy yechimi quriladi.

2. m – r o‘lchovli m – r ta vektorlardan iborat biror – bir chiziqli – erkli vektorlar sistemasi tanlanadi. Har bir vektori m – r o‘lchovli e₁(1; 0; …;  0), e₂(0; 1; …; 0), …, e_m-r(0; 0; …; 1) sistemani tanlash mumkin;

3. Umumiy yechim erkli noma’lumlari o‘rniga e₁ vektor mos koordinatalarini qo‘yib, bazis noma’lumlar aniqlanadi va mos ravishda F₁ fundamental yechim quriladi. e₂, e₃, …, e_m-r vektorlardan foydalanib, mos ravishda, F₂, F₃, …, F_m-r fundamental yechimlar quriladi.

Masala. Quyida berilgan bir jinsli sistemaning fundamental ye-chimlari tizimidan birini quring va uning umumiy yechimini vektor shaklda aniqlang:


Sistemaning umumiy yechimini Gauss – Jordan usulida quramiz:


Sistema noma’lumlari soni m = 5 va sistema rangi r = 2 bo‘lgani uchun, m – r = 3. Chiziqli – erkli e₁( 1; 0; 0 ) , e₂( 0; 1; 0 ) va e₃( 0; 0; 1 ) sistemani tanlaymiz.