I. A. Karimov Darhaqiqat, istiqlol davrida barpo etilgan, barcha shart-sharoitlarga EGA bo‘lgan akademik litsey va kasb-hunar kollejlari, oliy o‘quv yurtlarida tahsil olayotgan, zamonaviy kasb-hunar va ilm-ma’rifat

III.Ko’paytirish. Ko’phadni ko’phadga ko’paytirish uchun ko’phaddan bittasining har bir hadini ikkinchi ko’phadning har bir hadiga ko’paytirib, hosil bo’lgan ko’phadning uxshash hadlari ixchmlanadi.

Misol:

IV.Bo’lish. Ko’phadni ko’phadga bulish uchun oldin bo’linuvchining eng kata darajali hadini bo’luvchining eng kata darajali hadiga bo’lib, bo’linmaning har bir hadiga ko’paytirib, bo’linuvchiningtagiga yozib ayriladi, keyin bo’lishni qolgan hadlari ustida xuddi shunday yul bilan davom attiriladi

Misol:

3.Ko’phadning ildizi.

Agar x noma’lumning qiymatida ko’phad nolga aylansa son ko’phagning ildizi deyiyali.

Misol: ko’phad ildizga ega, chunki



Teorema. Agar α soni ko`phadning ildizi bo`lsa, ko`phad x-a ikkihadga qoldiqsiz bo`linadi.

Isbot. Bezu teoremasiga ko`ra, ni x-a ga bo`lishdan chiqadigan qoldiq P(α) ga teng, shart bo`yicha esa P(α)=0. Isbot bajarildi.

Bu teorema P(x)=0 tenglamani yechish masalasini P(x) ko`phadni chiziqli ko`paytuvchilarga ajratish masalasiga keltirish imkonini beradi.

(1730-1783) – fransuz matematigi). P(x) ko`phadni x-a ikkihadga bo`lganda bo`linmada Q(x), qoldiqda R(x) qolsin:

Agar bu munosabatga x=a qo`yilsa,

Hosil bo`ladi. Shu tariqa ushbu teorema isbotlanadi:

Haqiqiy koeffisientli ko`phadning haqiqiy ildizlarini sonini topish
masalasini ko`raylik. Quyida biz musbat ildizlar soni, manfiy ildizlar soni va
avvaldan berilgan a va b sonlar orasidagi ildizlar sonini topish masalasini
ko`ramiz. Bu masalalarga bir muncha sodda bo`lgan Shturm metodini qo`llab javob beramiz. Noldan farqli bo`lgan haqiqiy sonlarning birorta tartiblangan sistemasi, masalan
1, 3,  2, 5, 6, 1, 3, 1, 1, 4, 1 (1)
berilgan bo`lsin, Bu sonlarni ishoralarini yozib chiqaylik:
+ , + , - , - , + , + , + , - , - , + , + (2)
Biz bu ishoralar sistemasida qarama-qarshi ishoralar 4 marta almashganini,
ketma-ket turganini ko`ramiz. Shu sababli (1) tartiblangan sistemada 4 marta
ishora o`zgaradi (almashadi ) deyiladi. Demak noldan farqli haqiqiy sonlarning ixtiyoriy tartiblangan chekli sistemasi uchun ishora almashishlar sonini har doim toppish mumkin. Haqiqiy koeffisientli ko`phad berilgan bo`lsin va u karrali ildizga ega emas deb faraz qilaylik. Agar ko`phad karrali ildizlarga ega bo`lsa, u holda uni o`zi bilan hosilasining eng katta umumiy bo`luvchisiga bo`lib yuborib har doin karrali ildizga ega bo`lmagan ko`phadni hosil qilishimiz mumkin. Agar quyidagi shartlar bajarilsa noldan farqli ko`phadlarning tartiblangan chekli sistemasi
(3)
ko`phadning Shturm sistemasi deyiladi.
1). (3) sistemaning qo`shni ko`phadlari umumiy ildizga ega emas.

2.Oxirgi f s (x) ko`phad haqiqiy ildizga ega emas.

3). Agar  son (3) sistemaning oraliq ko`phadlaridan biri bo`lgan f k (x)
ko`phadning haqiqiy ildizi bo`lsa,(1 k  s 1) u holda f k1() va f k1() qaramaqarshi ishoraga ega bo`ladilar.
4). Agar  son ko`phadning haqiqiy ildizi bo`lsa, u holda x o`sa borib  dan o`tganda ko`paytma o`z ishorasini manfiydan musbatga o`zgartiradi. ko`phad shunday (3) Shturm sistemasiga ega deb faraz qilaylik. (Ixtiyoriy ko`phadning Shturm sistemasiga egaligi masalasini keyinroq ko`ramiz) . Agar c haqiqiy son berilgan ko`phadning haqiqiy ildizlaridan ibrat bo`lmasa, u holda haqiqiy sonlarning

sistemasini olamiz, undan barcha nolga tenglarini o`chiramiz va orqali qolgan sistemaning ishora o`zgarishlar sonini belgilaylik.