Vazirligi nizomiy nomidagi toshkent davlat pedagogika universiteti a. A. Normatov matematika tarixi

д _, д

дх ду
belgilashlarni Lejandr (1786) kiritdi.
71

Xulosa shuki, XVIII asr differentsial hisobi hozirgi zamon darajasiga etgan. Funktsiyani qatorga yoyish bo’yicha kuchli apparatga etarli darajdada rivojlangan analitik apparatga ega edi.

b) Integral hisobi.

Dastlab integral hisobi tarkibiga funktsiyalarni integrallash, differentsial ten- glamalar nazariyasi va boshqalar kirgan. XVIII asrning o’rtalariga kelib I.Bernulli (1742 y), L.Eyler (1768-70 y) integral hisobining sistemali kurslarini yozganlaridan so’ng bu bo’limlar mustaqil va sistemaga kelgan holda namoyon bo’ladi.

Eylerning uch tomlik ushbu asarining: 1-tomi funktsiyalarni integrallash va differentsial tenglamalar; 2-tomi differentsial tenglamalar davomi; 3-tomi xususiy 8 xildagi differentsial tenglamalar va variatsion hisobi kiritilgan. Bu asar etarlicha mu- kammal bo’lib, hozirgi zamon darsliklari uning bayon etilishi uslubi va tiliga o’zgartirish bera olgan. Bu asar integral hisobining bunlan keyingi rivoji va uning simvolikasini mazmuniga mos kelishi borasida keng yo’l ochib beradi.

Eyler simvoli atala boshlandi.

_Pdx adx a

adx b
b

1979 yili Laplas taklifiga ko’ra aniq integral deb

Furьe 1818-22 yillar

f (x)dx belgisini kiritadi.

a

Klero 1743 yili egri chiziqli integralni kiritadi, olingan integral.

Pdx

Qdy

egri chiziq bo’ylab

Eyler 1770 yili karrali integralni, Lagranj 1772 yili uch qavatli integralni kiritadi.

Ba’zi ko’rinishdagi integrallarni hisoblash natijasi asr boshida maxsus funktsiyalar nazariyasiga asos soldi. Jumladan: 1729-31 yillarda

1

V(a;b)= x

0

¹(1

x)^{b 1} dx betta- funktsiya,

Г (a)

е ^x x

0

¹dx -gamma- funktsiya.

o’amma funktsiyani bo’laklab integrallash natijasida o’(a+1)=ao’(a), a>0 va a∈N bo’lganda o’(a+1)=ao’(a)=...=a! o’(1)=a! Bundan foydalanib Eyler faktorialning

umumlashgan ta’rifini
n! е^x x^{n 1}dx; 0

a, b∈N bo’lganda beta funktsiya uchun

B(a, b) binomial imkonini beradi.
v) Differentsial tenglamalar.

Dastlab differentsial tenglamalarni integrallash umumiy masala-cheksiz ki- chiklar tahlili masalasiga teskari masala sifatida qarala boshlandi. Turli ko’rinishdagi birinchi darajali tenglamalarni echish ishlari algebraik va elementar transtsendent funktsiyalar ko’rinishda qulay tanlab olingan usullar orqali qidirilgan. Natijada tarix- an birinchi bo’lgan usul differentsial tenglamalarda o’zgaruvchilarni ajratish usuli paydo bo’ladi.

72

1692 yilda I.Bernulli integrallovchi ko’paytuvchini qo’llash usulini topadi. Keyinchalik bu usul M(x,u)dx+N(x,y)dy=0 ko’rinishdagi tenglamalarni echishning umumiy usuliga aylanadi.

1693 yili Leybnits keyin esa I.Bernulli u=xt almashtirish orqali bir jinsli birinchi tartibli tenglamalarni echadilar. Bernulli tenglamasi deb ataluvchi ady=ypdx+byⁿqdx (a=const, b=const, p=p(x), q=q(x)) tenglama

y^1-n=v almashtirish yordamida 1693 yili Leybnits 1697 yili I.Bernulli tomonidan birin- chi tartibli chiziqli differentsial tenglamaga keltiriladi.

1700 yili I.Bernulli x^r ko’rinishdagi integrallovchi ko’paytuvchini kiritish va un-

_k d ^k y

ing yordamida ketma-ket tartibni pasaytirish orqali

n-tartibli chiziqli differentsial tenglamani echadi.

x

dx^k

y 0 ko’rinishdagi

Turli-tuman tadbiqiy masalalarni echish keng ko’lamdagi differentsial ten- glamalarni echishni talab qilar edi, shunga ko’ra endi rivojlanib kelayotgan bu bo’lim o’zining mustahkam metodologiyasiga muhtojligi sezilib qoldi. 20-yillarga kelib bu borada sezilarli natijalar olina boshlandi.

1724 yili italiyalik matematik Ya.Rikkati

dy _ay2

dx

bx (

, a,b - const)

ko’rinishdagi chiziqli bo’lmagan differentsial tenglamani atroflicha tekshiradi. 1724

yili D.Bernulli =-2 yoki (k-butun son) bo’lganda elementar funktsiya-
larga integrallanishini topadi. 1738 yili Eyler bu tenglamani echishga qatorlarni tad- biq etadi.

1743 yili Eyler chiziqli bir jinsli differentsial tenglamani (doimiy koeffitsientli,

istalgan tartibli) ko’rsatgichli funktsiya ( y

echish algoritmini beradi.

_еkx ₎

yordamida darajasini pasaytirib

1766 yili Dalamber bir jinsli bo’lgan chiziqli differentsial tenglamaning umu- miy echimi uning qandaydir xususiy echimi bilan unga mos keluvchi bir jinsli ten- glamaning umumiy echimi yig’indilariga teng bo’lishini topadi.

1774-76 yillarda Lagranj maxsus echimlarni topishning qat’iy usulini beradi: yoki bevosita tenglamaning o’zidan, yoki umumiy echimni o’zgarmaslar bo’yicha differentsiallash bilan topishni beradi. Shu bilan birga u maxsus echimlarning geo- metrik talqinini ham beradi (egiluvchi integral egri chiziqlar oilasi ko’rinishida). Yu- qoridagi ishlarni umumlashtirib u 1801 yili “Funktsiyalarni hisoblashlarga doir lekt- siyalar” asarida chop etadi.

1768, 1769, 1770 yillarda chop etilgan uch tomlik “Integral hisobi” Eylerning ishlarini va ungacha bo’lgan barcha turdagi va tipdagi tenglamalarni sinflarga ajra- tib, batafsil echish usullarini beradi.

U bilan bir qatorda Dalamber, Laplas, Monj, Sharpi, K.Yakobi, Pfaff va bosh- qalar differentsial tenglamalar nazariyasini yaratishda munosib hissa qo’shdilar.