|
BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR THIRD ORDER COMPOSITY TYPE NON-STATIONARY
EQUATION IN UNBOUNDED DOMAIN
Akhmedov M. - teacher at the YODJU Institute in Tashkent
Kadyrov R. - lecturer at the YODJU Institute in Tashkent
Annotation.
In the present manuscript initial-boundary value problem for third
ordercomposite type equation in unbounded rectangular three dimensional domain. Uniquiness of
the solution is proven by the method of energy integrals. The considered problem is reduced to the
equalient system of second kind Fredholm integral equations. The solvability of the obtained system
of integral equations are investigated.
Keywords.
Third order PDE, boundary value problem, method of energy integrals, method of
potentials, initial condition, boundary condition, integral equation.
В данной работе рассматривается нестационарное уравнение третьего порядка
составного типа
231
TOSHKENT DAVLAT PEDAGOGIKA UNIVERSITETI ILMIY AXBOROTLARI
2020/2(23
)
( )
0
xxx
yyy
t
L u
u
u
u
(1)
в области
0
1,
0, 0
x
y
t
T
с краевыми условиями
0
( , ,0) 0, ( , )
u x y
x y
(2)
1
(0, , )
( , ),
u
y t
y t
2
2
(0, , )
( , ), ( , )
x
u
y t
y t
y t
(3)
3
4
1
2
1
(1, , )
( , ), ( , )
( ,0, )
( , ),
( ,0, )
( , ), ( , )
y
u
y t
y t
y t
u x
t
x t u x
t
x t
x t
(4)
lim ( , , )
0
y
u x y t
где
0
( , , ) :0
1,
0,
0
x y t
x
y
t
,
1
( , , ) :0
1,
0,0
x y t
x
y
t
T
,
2
( , , ) :
0,
0,0
x y t x
y
t
T
,
3
( , , ) :0
1,
0,
x y t
x
y
t
T
,
4
( , , ) :
1,
0,0
x y t x
y
t T
здесь
0,1
1
,
2
2
1
3
4
0,1
0,1
1
,
1
2
,
1
( , )
(
),
( , )
(
),
( , )
(
),
( , )
(
),
( , )
(
)
y t
x t
x t
y t
C
x t
C
y t
C
x t
C
x t
C
(5)
Теорема1.
Задача (1)-(4) не имеет более одного регулярного решения.
Доказательство.
Допустим, что существует два решение задачи (1)-(4).
Тогда обозначая,
1
2
( , , )
( , , )
( , , )
v x y t
u x y t
u x y t
относительно функции
( , , )
v x y t
имеем однородную краевую задачу.
Рассмотрим тождество
1 0
0
0
( ) ( , , )
0
T
kt
L v v x y t e dxdydt
(6)
Интегрируя тождество (6) по частям будем иметь
(1, , )
lim
( , , )
( , , )
0
x
y
x
y
v
y t
v x y t
v x y T
(7)
Вводим обозначения
v( , , )
( , , )
,
kt
x y t
v x y t e
0
k
. Тогда интегрируя по частям
тождество
1 0
0
0
(
) v
0
T
L v
kv
dxdydt
(8)
Получим
1 0
2
0
0
( , , )
0
T
kt
v
x y t e dxdydt
(9)
Отсюда
v( , , ) 0
x y t
. Следовательно,
0
v
в
Теорема доказано.
Фундаментальные решение уравнения (1) представляется в следующем виде (см.[2])
232
TOSHKENT DAVLAT PEDAGOGIKA UNIVERSITETI ILMIY AXBOROTLARI
2020/2(23
)
0
2
1
1
3
3
3
1
(
,
,
)
,
(
)
(
)
(
)
,
,
,
x
y
U x
y
t
f
f
t
t
t
x
y
t
1
2
1
1
3
3
3
1
(
,
,
)
,
(
)
(
)
(
)
,
,
,
x
y
U x
y
t
f
t
t
t
x
y
t
2
2
1
1
3
3
3
1
(
,
,
)
,
(
)
(
)
(
)
,
,
,
x
y
U x
y
t
f
t
t
t
x
y
t
3
2
1
1
3
3
3
1
(
,
,
)
,
(
)
(
)
(
)
,
,
.
x
y
U x
y
t
t
t
t
x
y
t
Здесь функции
( )
f z
и
( )
z
являются решениями уравнения
1
3
( )
( )
0,
,
3
(
)
z
x
p z
p z
z
t
(10)
которыеимеютвид
3
0
( )
(
)
,
,
f z
cos
z d
z
3
3
0
( )
(exp(
)
sin(
))
, 0
.
z
z
z d
z
Теорема 2.
Если выполняется условия (5), то задача (1)-(4) имеет решение из класса
3,3,1
2,2,0
, ,
, ,
( )
( )
x y t
x y t
C
C
.
Приведем схему доказательство теоремы. Решение задачи (1)-(4) ищем в виде
1
1
0
1
0
2
0 0
0 0
1
0
2
3
0
1
0 0
0
0
0
2
0
( , , )
( , , ;0, , )
( , )
( , , ;1, , )
( , )
( , , ;0, , )
( , )
( , , ; ,0, ) ( , )
( , , ; ,0, )
( , )
.
t
t
t
t
t
u x y t
U x y t
d d
U x y t
d d
U
x y t
d d
U
x y t
d d
U
x y t
d d
Ясно, что это решение удовлетворяет уравнению (1) и начальному условию (2).
Удовлетворяя граничным условиям (3)-(4) имеем
233
TOSHKENT DAVLAT PEDAGOGIKA UNIVERSITETI ILMIY AXBOROTLARI
2020/2(23
)
1
1
1
2
1
0 0
3
3
1
2
2
1
1
0 0
3
3
3
1
3
1
0 0
3
1
1
1
3
3
( , )
( , )
(0, , )
0
( , )
1
( , )
0
( , )
t
t
t
y
y t
u
y t
f
f
d d
t
t
y
f
f
d d
t
t
t
y
f
d d
t
t
y
f
f
t
t
t
0
0
t
d d
(11)
1
1
2
1
0 0
3
1
2
1
1
0 0
3
3
1
3
4
1
0 0
3
3
1
4
1
1
3
3
3
( , )
( , )
(0, , )
0
( , )
1
( , )
0
( , )
t
x
t
t
y
y t
u
y t
f
f
d d
t
t
y
f
f
d d
t
t
t
y
f
d d
t
t
y
f
f
t
t
t
0
0
t
d d
(12)
1
1
3
2
1
1
0 0
3
3
3
1
2
2
1
0 0
3
3
1
3
1
1
0 0
3
3
1
1
3
( , )
1
( , )
(1, , )
( , )
0
( , )
1
( , )
1
t
t
t
y
y t
u
y t
f
f
d d
t
t
t
y
f
f
d d
t
t
y
f
d d
t
t
t
f
f
t
t
0
1
0
3
.
t
y
d d
t
(13)
234
Do'stlaringiz bilan baham: |
