Самостоятельная работа Принятый : Аллаберганова Г.

2. Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты.
Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты. Результирующее колебание x будет суммой колебаний x1 и х2, которые
определяются функциями

x1 = A1 cos(ωt + ϕ1) ,

x2 = A2 cos(ωt + ϕ2 ) .

(6)

Применим метод векторных диаграмм, построив по правилам сложения векторов результирующий вектор (рис.3). Проекция его на ось X равна сумме проекций складываемых векторов:
x = x1 + x2 .
Частота вращения результирующего вектора равна ω, амплитуда А и начальная фаза φ. Из рисунка видно, что

A2 = A2	+ A2	− 2A A cos[π - (ϕ			2		− ϕ		1			)]= A2		+ A2				+ 2A A cos(ϕ				2		− ϕ		),		(7)
1	2	1	2					1						2		1		2		1
			tgϕ =	A1 sinϕ1 + A2 sinϕ2														.										(8)
				A cosϕ						1		+ A cosϕ				2
				1								2

Как мы видим, результат сложения двух колебаний существенно зависит от разности фаз этих колебаний ϕ1 - ϕ2. Рассмотрим два важных случая:

а) ϕ1 − ϕ 2 = 0 - колебания синфазные.
В этом случае амплитуды колебаний складываются, т.е. колебания усиливают друг друга
(рис. 4):
A = A1 + A2 .
б) ϕ1 − ϕ 2 = π - колебания противофазные.
В этом случае амплитуды колебаний вычитаются, т.е. гасят друг друга (рис. 5):

A =		A1 − A2		.
Если частоты колебаний x1 и x2 неодинаковы, векторы										A1 и	A2 будут вращаться с
различной скоростью. В этом случае результирующий вектор										A вращается с непостоянной
скоростью, а его модуль изменяется в пределах от						A1 − A2			до		A1 + A2 . Следовательно,
результирующее колебание не будет гармоническим.

1.3. Биения.
Для практики особый интерес представляет случай, когда два складываемых гармонических колебания одинакового направления мало отличаются по частоте. В результате сложения этих колебаний получаются колебания с периодически изменяющейся амплитудой. Эти колебания называются биениями. Они широко применяются на практике для сравнения измеряемой частоты с эталонной (при настройке музыкальных инструментов, для анализа слуха и т.д.).

6
Пусть амплитуды складываемых колебаний равны, а частоты равны ω и ω+∆ω, причем ∆ω<<ω. Начальные фазы обоих колебаний примем равными нулю:

x1 = Acos(ωt)	(9)
x2 = Аcos(ω + ∆ω)t	(10)

Если сложить эти колебания, то получим:

x = x + x		= (2Acos	∆ω	t) cosωt .	(11)
	2
1		2

Первый множитель в формуле (11) изменяется гораздо медленнее, чем второй. Ввиду условия ∆ω<<ω за время, пока cosωt совершает несколько полных колебаний, первый множитель почти не изменяется. Это дает основание рассматривать колебание (11) как гармоническое с частотой ω (рис.6а), амплитуда которого изменяется по следующему периодическому закону:

				∆ω
	A	=	2Acos		t	.	(12)
	б		2

Выражение для амплитуды представляет собой периодическую функцию с частотой, в два раза превышающей частоту гармонической функции, стоящей под знаком модуля, т.е. с частотой ∆ω (рис. 6б). Следовательно, частота пульсации амплитуды – ее называют частотой биений – равна разности частот складываемых колебаний ∆ω.
Периодом биения называется промежуток времени между двумя последовательными моментами времени, при которых амплитуда результирующего колебания обращается в ноль:

T =

2π

.

(13)

7
1.4. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Фигуры Лиссажу.
Существуют системы, которые могут совершать колебания в двух взаимно перпендикулярных направлениях. Например, такие колебания может осуществлять составной маятник, изображенный на риc. 7. Верхний маятник KМ, имеющий точку подвеса К, способен совершать колебания в вертикальной плоскости вдоль направления ОХ. Нижний же маятник MN имеет ось вращения OO′ , параллельную оси ОХ и может колебаться в вертикальной плоскости вдоль направления OY.
Сложение взаимно перпендикулярных гармонических колебаний можно также наблюдать на экране осциллографа, если на его отклоняющие пластины X подать одно гармонически изменяющееся напряжение Ux, а на пластины Y - второе гармонически изменяющееся напряжение Uy.
Замкнутые траектории, прочерчиваемые точкой, совершающей одновременно два взаимно перпендикулярных колебания, называются фигурами Лиссажу. Форма этих кривых зависит от соотношения амплитуд, частот и разности фаз складываемых колебаний. Это обстоятельство используется в измерительной технике для исследования соотношений частот и разности фаз складываемых колебаний. Например, если частоты складываемых колебаний ω x и ω y относятся как два целых числа n и m:

	ωx	=	n	,	(14)
			m
	ωy

то для определения соотношения ωx/ωy используется один из следующих методов:
1. Проводят через данную фигуру две произвольные взаимно перпендикулярные прямые ЕС и DP, параллельные осям ОХ и OY (рис.8). Подсчитывают число точек пересечения фигуры и прямой DP. Это число равно величине n. Аналогично число пересечений фигуры и
прямой ЕС равно величине m. В случае, когда прямая проходит через точку пересечения ветвей фигуры, при подсчете ее считают дважды. Соотношений частот складываемых колебаний равно отношению n/m.

Рис. 8. Определение соотношения частот взаимно перпендикулярных колебаний методом пересекающихся прямых.
2. Вписывают исследуемую фигуру Лиссажу в прямоугольник и подсчитывают количество точек соприкосновения фигуры и прямоугольника по горизонтали - m и вертикали - n(рис. 9). Соотношений частот складываемых колебаний равно отношению
Пусть материальная точка участвует в двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаниях:
где ϕ - разность фаз этих колебаний. Выведем уравнение результирующего движения точки для нескольких простых случаев.
1. Вначале рассмотрим простейший случай, когда ω1 = ω2= ω:

x = a cosωt	,	(16)
y = b cos (ωt + ϕ)

Найти результат сложения, означает найти вид функции y(x), т.е. найти траекторию движения материальной точки в плоскости (x,y). Запишем систему уравнений (16) в виде
С учетом первого уравнения, второе уравнение системы (16а) преобразуем следующим образом :

y	= x cosϕ − sinϕ	1− x2	,
b	a	a2
y − x cosϕ = − sinϕ		1− x	2 .
b	a	a	2

Возведем обе стороны этого уравнения в квадрат:

y2

+

x2

cos

2

ϕ −

2xy

cosϕ = sin

2

ϕ −

x2

sin

2

ϕ

b2

a2

ab

a2

и, окончательно упростив, получим вид вид функции y(x):

x2

+

y 2

−

2xy

cosϕ = sin

2

ϕ

(17)

a2

b2

ab

Вид траектории y(x) существенно зависит от разности фаз ϕ (рис. 10):

x

y

2

b

a) φ= 0,

−

= 0 ,

y =

x - отрезок прямой линии,

a

b

a

б) φ= ±π,
в) φ = ± π/2,

2) Рассмотрим случай, когда ω1 /ω2 = 1/ 2	и ϕ = 0 :
x = a cosωt		(18)
y = b cos 2ωt.

Выразим во втором уравнении системы (18) cos 2ωt через cosωt , а этот косинус – из первого уравнения:
cos 2ωt = 2cos2 ωt −1; cosωt = x / a .


Литература
1. Т.И.Трофимова. Курс физики.– М.: Высшая школа, 1985. с.209-212.
2. И.В.Савельев. Курс физики. – М.: Высшая школа, 1989. с.238-296, 256-269.