Qarshi davlat universiteti matematik analiz va algebra kafedrasi

e^o (3)
k=1


bo'lsin.U holda operatorni chiziqli ekanligidan quyidagi tenglikni hosil qilamiz:
m+1 la_kAe_k = 0. (4)
k=1
Shunday qilib, e -xos vektorlar, u holda


29

^Aek=\^e_k

Shu sababli (4) quyidagicha yozish mumkin:


m+1
Т/*Л^ек=°
k=1


(5)


(3) tenglikdan
£я «л=°-
k=l
(5) tenglikdan ushbu tenglikni ayirib, quyidagi tenglikni hosil qilamiz:
m+1
SU,-iJaA^. (6)
k=l
Shartga ko'ra barcha A_k har xil, ya'ni A_k - Л_т 0. Shu sababli (6) dan olishimizga ko'ra e,e₂,...e_m vektorlar chiziqli ekanligidan a_x= a₂=...=a_m=§ kelib chiqadi. Bundan va (3) dan hamda e^, - xos vektor ekanligidan (e_m+1 ф 0) a_m+i =0 kelib chiqadi. Shunday qilib, (3) tenglikdan biz a_x = a₂ = ...= ^1 =0 tenglikni hosil qilamiz. Bu esa e_x,e₂,...,e_m+x vektorlarni chiziqli erkli ekanligini bildiradi.
Teorema isbotlandi.
Natija. Agar А operatorning xarakteristik ko'phadi n ta har xil ildizga ega bo'lsa, u holda biror bazisda А operatorning matritsasi diagonal ko'rinishga bo'ladi.
Haqiqatan ham, qaralayotgan holda isbot qilingan 2-teoremaga ko'ra barcha xos vektorlari chiziqli erkli va ularni bazis sifatida olish mumkin U holda 1 - teoremaga ko'ra А operatorning matritsasi bu bazisda diagonal ko'rinishda bo'ladi.

4. 
   Evklid fazoda chiziqli va bir yarim chiziqli formalar.
   

V - evklid fazosi va C-kompleks tekislik (bir o'lchovli kompleks chiziqli fazo) bo'lsin. U holda ma'lumki, V ni C ga o'tqazuvchi chiziqli operator chiziqli forma deyiladi. Ushbu mavzuda L(V, C) dagi ixtiyoriy f chiziqli forma uchun maxsus ko'rinish topamiz.
Lemma. f - L(V,C) dagi chiziqli forma bo'lsin, u holda Vda chunday yagona h element mavjudki,
f(x) = (x, h) (1)


30

bo'ladi.

Isboti. h elementni mavjudligini isbotlash uchun V da e_x,e₂,...,e_nbazis tanlab
olamiz.
h^k koordinatasi quyidagicha ifodalangan h elementni qaraymiz:
h^k= Ж). (2)
Shunday qilib, olishimizga ko'ra n
^h=7^he ■
x = \xc Vdagi ixtiyoriy element bo'lsin. f formaning chiziqli ekanligidan va

2. 
   tenglikdan foydalanib
   

n n
f\x)^x^lf(e_t ) = Xx‘h^k (3)
ni hosil qilamiz. Ma'lumki, ortonormallangan {e_k} bazisda x = ^x^ke_k va k=1
h = ^h^ke_k vektorlarning (x,h) skalyar ko'paytmasi У x'h' ga teng. U holda

2. 
   dan f (x)- (x,h) tenglikni hosil qilamiz.
   

h vektorni mavjudligi isbotlandi.
Endi bu vektorning yagonaligini isbotlaymiz. Faraz qilaylik, shunday ikkita h va h vektorlar mavjud bo'lsinki, ular yordamida f (x) chiziqli forma (1) ko'rinishda ifodalansin. U holda ixtiyoriy x vektor uchun (x, h_{ ) = (x, h,), bundan esa (x, h -h₂ ) = () kelib chiqadi. Bu tenglikda x = ^ —h₂ deb olib, evklid fazosida elementni normasi ta'rifidan foydalanib
llh,- h₂|| = 0
tenglikka kelamiz. Shunday qilib, h = h₂. Lemma isbotlandi.
Ravshanki, lemma V - haqiqiy evklid fazosi, f e L(V, R) bo'lgan holda ham o'rinli. Bu yerda R -haqiqiy to'g'ri chiziq.
Evklid fazosida bir yarim chiziqli formalar va ularni maxsus ifodalanishi.


31

1. 
   ta'rif. Argumentlari x va y L chiziqli fazodagi barcha mumkin bo'lgan vektorlar bo'lgan B(x, y) sonli funksiya bir yarim chiziqli forma deyiladi, agar L dagi
   

ixtiyoriy x, y va z vektorlar va ixtiyoriy kompleks z son uchun


B (y, z ) = B (x, z ) + B (y, z),
B(x, y + z) = B(x, y) + B(x, z),
B (fa ,y ) = AB( x, y),
B (x,Ay) = AB( x, y)


(1)


munosabatlar bajarilsa.

1. 
   teorema. B(x, y) V evklid fazosidagi bir yarim chiziqli forma bo'lsin. U holda
   

L(V, V) da shunday yagona A chiziqli operator mavjudki,
B( x, y ) = (x, Ay ) (2)
bo'ladi.
Isboti. y-Г fazoning fiksirlangan elementi bo'lsin. U holda B(x,y) x argumentning chiziqli formasi bo'ladi. Shu sababli oldingi mavzudagi lemmaga ko'ra V fazodagi shunday bir qiymatli aniqlangan h elementni ko'rsatish mumkinki,
B( x, y ) = (x, h) (3)
bo'ladi. Shunday qilib, V har bir y elementga (3) qoida bilan V dagi yagona h element mos qo'yiladi. Demak, shunday А operator aniqlanganki, h = Ay bo'ladi. Bu operatorning chiziqli ekanligi (1) xossa va skalyar ko'paytma xossalaridan kelib chiqadi.
А operatorning yagona ekanligini isbotlaymiz.
Faraz qilaylik, ikkita A_x va A₂ operatorlar mavjud bo'lsinki, bu operatorlar yordamida B(x, y) forma (2) ko'rinishga kelsin. U holda ravshanki, ixtiyoriy x vay lar uchun (x, Ay) = (x, A,y). Bundan esa (x, A,y — A_xy) = 0 kelib chiqadi. Agar bu tenglikka x = ^y- A_ty deb olsak, u holda
ll^A2 y-Ai ^y|=°


32

kelib chiqadi. Demak, V dagi ixtiyoriy y element uchun A,y = A_xy ya'ni A = Д. Teorema isbotlandi.

Natija. B(x,y)- V evklid fazosidagi bir yarim chiziqli forma bo'lsin. U holda L(V,V) da shunday yagona A operator mavjudki,