Применение двукратных и трехкратных интегралов

Рис. 3
§3. Вычисление объёмов тел с помощью двукратного интеграла.
Объём цилиндрического тела, ограниченного сверху непрерывной поверхностью , снизу плоскостью и с боков прямой цилиндрической поверхностью, вырезающей на плоскости область , выражается формулой:
. (4)
Задача 3. Найти объём тела, ограниченного эллиптическим параболоидом:
,
плоскостью и координатными плоскостями , , .
Решение. Данное тело ограничено сверху эллиптическим параболоидом с вершиной (0,0,1) и вытянутого в положительном направлении оси ; снизу плоскостью ; с боков координатными плоскостями и , а также плоскостью , параллельной оси . Областью интегрирования является треугольник на плоскости , образованный прямыми:
, , (рис. 4).

Рис. 4
Тогда по формуле (4):
.
Область интегрирования является правильной в направлении оси . Тогда для неё x изменяется от 0 до 1; изменяется от прямой до прямой , то есть:
(рис.5)

Рис. 5
Расставляя пределы интегрирования, находим:




.
ГЛАВА IV. Трехкратные интегралы.
§1. Определение трехкратного интеграла.
Пусть – кубируемая область в трёхмерном евклидовом пространстве и пусть в области определена ограниченная функция . Разобьём область на кубируемых частей так, чтобы любые две части не имели общих внутренних точек. В каждой части возьмём произвольную точку и составим сумму:
,
где – объём . Эта сумма называется интегральной суммой функции , соответствующей данному разбиению области на части и данному выбору промежуточных точек .
Пусть диаметр области равен , где .
Обозначим диаметр области через .
Определение. Число называется пределом интегральных сумм при , если такое, что для любого разбиения области , у которого , и для любого выбора промежуточных точек выполняется неравенство:
.
Если существует , то он называется тройным
интегралом от функции по области и обозначается:
,
а функция называется интегрируемой в области .