Приложения двойных и тройных интегралов к задачам геометрии и физики

Приложения тройных интегралов
С помощью тройных интегралов можно вычислить ряд геометрических и физических величин:
· Объем V пространственной области Т вычисляется по формуле
; (20).
· Масса m тела  с переменной плотностью  (масса на единицу объема) вычисляется по формуле
(21).
· Статические моменты тела относительно координатных плоскостей вычисляются по формулам
(22),
(23),
(24).
· Координаты центра масс тела вычисляются по формулам
(25).
· Моменты инерции тела относительно координатных осей Ox, Oy, Oz и начала координат (  ) вычисляются по формулам
(26),
(27),
(28),
(30).
Пример.
Найти массу пирамиды, ограниченной плоскостью  и координатными плоскостями, если ее плотность в каждой точке равна абсциссе этой точки.
Решение. Масса тела вычисляется по формуле  . Так как плотность пирамиды в каждой точке равна абсциссе этой точке, то  .
Изобразим тело Т на чертеже (Рис. 18). Границами тела являются плоскость  и координатные плоскости  .

Рис. 18

Рис. 19

Так как область интегрирования Т ограничена сверху поверхностью  , снизу  , и проекцию области Т на плоскость xOy (Рис. 19) можно задать неравенствами

Следовательно,


.
Ответ: 

Векторный анализ
Скалярное поле
Определение.Если в каждой точке пространства или части пространства определено значение некоторой скалярной величины, то говорят, что задано скалярное поле этой величины.
Пример скалярных полей дает поле температур, электростатическое поле.
Задание скалярного поля осуществляется заданием скалярной функции точки 
.
Если в пространстве введена декартова система координат  , то

Геометрической характеристикой скалярного поля служат поверхности уровня (в случае плоского поля – линии уровня) – геометрическое место точек, в которых скалярная функция поля принимает одно и то же значение. Поверхность уровня данного поля определяется уравнением

Пример.
Построить поверхности уровня скалярного поля 
Решение. Поверхности уровня определяются уравнением  где  . Это есть однопараметрическое семейство параллельных плоскостей.
Пример 2.
Найти линии уровня скалярного поля 
Решение. Линии уровня определяются уравнениями  При  получаем пару прямых  . При  получаем семейство гипербол.
Дифференциальными характеристиками скалярного поля являются производная по направлению и градиент скалярного поля.
Пусть  - единичный вектор данного направления  . Обозначим  - приращение скалярного поля  в точке  по направлению вектора  (вектор  одинаково направлен с вектором  ). Обозначим длину вектора  через  .