O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi buxoro davlat universiteti fizika-matematika fakulteti

Teorema. Simmetrik tenzorning xos sonlari haqiqiy bo’lib, ularga mos xos vektorlari ortogonal bo’ladi.
Isbot. _{ } simmetrik bo’lib, _{ }, _{ }, _{ } uning xos sonlari _{ }, _{ }, _{ } lar ularga mos kelgan xos vektorlar bo’lsin. Xos sonlarni kompleks deb faraz qilaylik. U holda xos vektorlar ham kompleks bo’ladi. U holda (20) biln birga unga kompleks qo’shma tenglamani ham qaraymiz:
_{ }.
Birinchi tenglamani _{ } ga, ikkinchisini _{ } ko’paytirib so’ng birinchisidan ikkinchisi ayrilsak

Kelib chiqadi (chap tomonning nolga tengligi _{   } tenglikka ko’ra hosil boladi). Bundan _{ } bo’lishi kelib chiqadi va xos sonlarning haqiqiy ekanligi ko’rinadi.
_{   } ga mos kelgan _{ }, _{ } vektorlarni ko’raylik. _{ } bo’lsin. Bu miqdorlar qo’ydagi tenglamalarni qanoatlantiradi :

Sistemani birinchisini _{ } ga, ikkinchisini _{ } ga ko’paytirib so’ngra ayirsak
_{ } ),
bundan _{ } ga asosan (_{ }, kelib chiqadi, ya’ni xos vektorlar orthogonal bo’ladi.
Agar ikki yoki uchchala xos sonlar o’zaro teng bo’lsa,ulaega mos vektorlarni bir-biriga ortoganal sifatida tanlab olish mumkin.
Ortoganal xos vektorlar asosida qurilgansistemada tenzor soda ko’rinishda,uning matritsasi dioganal matritsadan iborat bo’lib,dioganal elementlari xos sonlardan iborat bo’ladi.Yana shu narsani nazarda tutish kerakki, xos vektorlar o’ng sistemani tashkil qilishi kerak.Bu holda tenzorning xos sistemaga o’tish jarayonini eski sistemani burish yordamida hosil qilish mumkin bo’ladi
Tenzorning xarakteristik sirti. Simmetrik tenzori geometrik tasvirlash uchun tenzorning xarakteristik sirti tushunchasi kiritiladi. Bu sirt ikkinchi tartibli sirt bo’lib, uning tenglamasi

ko’rinishda bo’ladi.
Tenzorning bosh o’qlari tenzor xarakteristik tenglamasining bosh o’qlaridan iborat. Agar tenzorning xos sonlari teng bo’lsa , (λ ₁λ₂ λ₃) bunday tenzorga sharli tenzor deyiladi. Sharli tenzorning xarakteristik sirti iborat bo’ladi. Agar
λ ₁= λ_{2  }λ₃ bo’lsa, bunday tenzorga simmetrik tenzor deyiladi va uning xarakteristik sirti aylanma sirtdan iborat bo’ladi. Agar λ_{1  }λ_{2 } λ₃ bo’lsa, bunday tenzorga assimmetrik tenzor deyiladi. Agar tenzorning barcha sonlari musbat bo’lsa, tenzor musbat aniqlangan deyiladi. Agar barcha xos sonlari manfiy bo’ls, tenzor manfiy aniqlangan deyiladi. Agar tenzorning ba’zi xos musbat, ba’zilari manfiy bo’lsa, bunday tenzorga ishorasi aniqlanmagan tenzor deyiladi.
Tenzorning bosh o’qlari bo’yicha olingan X ₁X ₂X₃ sistemada tenzorning xarakteristik tenglamasi
λ ₁ X ₁²+ λ ₂ X ₂²+ λ ₃ X ₃² = 1 =>_{ }+_{ }=1
ko’rinishida bo’ladi.