O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi buxoro davlat universiteti fizika-matematika fakulteti

ko’rinishda yozamiz. Skalar ko’paytmada soqov indekslarni bir vaqtda ko’tarib-tushirishda natija o’zgarmasligidan foydalandik. (3.25) ning ikkinchi hadining variatsiyasi ko’paytmaning variatsiyasiga teng. Yuqoridagini hisobga olib (3.25) quyidagi ko’rinishda yozamiz:
(2.2.14)

ko’rinishda yozib olamiz. Bunga asosan (3.27) ni qayta yozamiz:

(2.2.15)
Birinchi hadda du_i = (dui/dr)dr, ukkinchi va uchinchi hadlarda dx^k(i) = u^k(i'⁾dr deb yozamiz, bundan tashqari uchinchi hadda i va k larning o ’rnini almashtiramiz:






bu yerda ds = cdr. Integral chegaralari “a” va “b” ixtiyoriy va bu dunyo nuqtalarida = 0 bo ’lganligi uchun (3.29) da integral ostidagi ifoda nolga teng bo ’lishi kerak, ya‘ni


(2.2.16)
Belgilash kiritamiz

Ikkinchi rangli antisimmetrik 4-tenzor F_ik elektromagnit maydon 4-tenzori deyiladi. Bunga ko ’ra zaryadning harakat tenglamasi quyidagi ko ’rinishda yoziladi
(2.2.17)
Bu zaryadning harakat tenglamasining to’rt o’lchovli ko’rinishidir. F^ik ni yozishda indekslarni ko tarish va tushirish qoidasidan foydalandik. Bu tenzorni shartli ravishda ikki vektorning to ’plami sifatida yozish mumkin:
F_k = {E, H}, F^ik = {—E, H}. (2.2.20)
Shunday qilib, elektr va magnit maydon kuchlanganliklari bitta 4- tenzorning komponentalari ekan. Bu tenzorga elektr va magnit maydon kuchlanganliklari teng huquqli asosda kiradi.
Uch o ’ lchovli belgilashlarda (3.32) ning uchta fazoviy (i = 1,2,3) tashkil etuvchilari (3.21) tenglamaga aynan o ’ tishiga oson ishonch hosil qilish mumkin. Uning i = 0 tashkil etuvchisi bajarilgan ish tenglamasi bilan aynandir. Bu tenglama zaryadning harakat tenglamasidan kelib chiqadi. (3.32) tenglamaning har ikkala tomonini uⁱ ko ’ paytirib to ’ rtta tenglamadan uchtasi o ’ zaro bog ’ liq emasligini ko ’ rish mumkin. Bu masala 69-betda ko ’ rilgan.
Maydon kataliklari uchun Lorens almashtirishlari. Bir inersial sanoq sistemasidan ikkinchisiga o’tganda maydon kattaliklari elektramagnit maydon potensiallari va kuchlanganliklari qanday almashishini ko’rib chiqamiz. Avvalgidek, K va _{ } sanoq sistemalaridagi Dekart koordinata o’qlari mos ravishda bir-boriga parallel va _{ }sistema K ga nisbatan x o’qi bo’ylab V tezlik bilan harakatlanayotgan bo’lsin. Bu holda elektramagnit maydon potensiallari _{ } 4- vektorni tashkil qilganligi sababli ular uchun Lorens almashtrishlari quyidagicha yoziladi:
_{ } (2.2.21)
Elektromagnit maydon uchun almashtirish formulalari uchun almashtirish formulalarini quyidagicha yozamiz.Elektr maydon uchun :

Va magnit maydon uchun:
_{ }(2.2.22)
Shunday qilib maydon “toza elektir” (H=0) yoki “toza magnit” (E=0) xarakteriga ega deyish nisbiy bo’lib, qaysi sanoq sistemasiga ekanligini albatta gapirish kerak.
Masalan, biror sanoq sistemasiga nisbatan maydon toza bo’lsa,(3.38) ga asosan bu sistemaga nisbatan x o’qi bp’ylab V tezlik bilan harakatlanayotgan sanoq sistemada elektir maydon bilan bir qatorda magnit maydon ham namoyon bo’ladi. Shunga o‘xshash biror sanoq sistemada maydon toza magnitbo‘lsa, sistemalarda magnit maydon bilan bir qatorda elektr maydonham namoyon bo‘ladi. Shuning uchun fizik reallikni elektr yoki magnitmaydonga tegishli deyishning ma’nosi yo‘q. Fizik reallik 4-tenzor bilan aniqlanadi. (3.337) va (3.38) formulalarda _{ } maydonbirorta sistemaga nisbatan toza elektr (magnit) bo‘lsa, boshqa barchasistemalarda ham u elektr (magnit) bo‘ladi. Bu fizik reallikka zid. Demak, elektrodinamikada faqat _{ } deb ko’rish mumkin, ammo _{ } mumkin emas. Bir sonoq sistemaning ikkinchisiga nisbatan tezligi yorug‘lik tezligidanjuda kichik deb, almashtirish formulalari (3.37)-(3.38) ni qatorga yoyamiz. Qatorda _{ } birinchi darajali bilan chegaralanib quyidagini hosil qilamiz:
_{ } (2.2.23)


_{ } (2.2.23)

Bu almashtirish formulalaridah hatto juda kichik tezliklarda ham maydonni

toza elektr (magnit) xususiyatga ega deb bo‘lmasligi ko‘rinib turibdi.
(3.37)-(3.38) ga teskari almashtirish formulalarini olish uchun _{ } ga va shtrixning o‘rni almashtiriladi. Maydon kuchlanganliklari uchun Lorentz almashtirishlarini sanoq sistemalarning nisbiy harakati ixtiyoriy yo‘nalishda bo‘lgan hol uchun (3.37)-(3.38) ni umumlashtirib vector ko’rinishda yozish mumkin:
_{ } (2.2.24)


_{ } (2.2.25.)

Bu yerda _{ } maydon kuchlanganliklarning sanoq sistemalarining nisbiy harakat tezligi yo’nalishiga parallel va _{ } esa perpendikulyar tashkil etuvchilari.

Almashtirish formulalari (3.37)-(3.38) dan yana bir muhim xulosa kelib chiqadi.
Agar birorta sanoq sistemada maydon toza elektr (magnit) bo’lsa, boshqa barcha sanoq sistemalarida elektr va magnit maydon o’zaro perpendikulyar bo’ladi. Masalan ,_{ } bo’lsin, bu holda almashtirish formulalari quyidagi ko’rinishga o’tadi:


_{ } (2.2.25)


_{ } (2.2.26)

Bu ifodaning ikkinchisidan _{ }topib birinchisiga qo’yamiz:

_{ }. (2.2.27)

Xuddi shunga o’xshash _{ } bo’lgan hol uchun quyidagini yozish mumkin:

_{ }. (2.2.28)

Shunday qilib, har ikkala holda _{ } sistemada elektr va magnit maydon

kuchlanganliklari bir-biriga perpendikulyar ekan.Bu masalani boshqa tomondan ko‘rib chiqamiz. Elektr va magnit kuchlanganliklari antisimmetrik 4-tenzor _{ } bilan aniqlanganligiuchun ulardan bir inersial sanoq sistemadan ikkinchisiga o‘tgandaLorentz almashtirishlariga nisbatan invariant bo‘lgan kattaliklarni hosil
qilish mumkin. Bu invariantlar quyidagicha aniqlanadi:


_{ }inv, _{ }inv. (2.2.29)

Bu yerda _{ } barcha indekslari bo‘yicha to‘la antisimmetrik birlik tenzor. Bevosita hisoblashlarga ko‘ra

_{ }inv, _{ }inv (2.2.30)

Bu yerda _{ } haqiqiy sikalyar, _{ } psevdo skalyardir. Chunki uch o’lchovdagi inversiya operatsiyasiga nisbatan _{ } invariant qoladi, _{ } ning ishorasi o’zgaradi.

Bu invariantlar maydonning mutloq xarakteristikalari bo‘lib, quyidagi xulosalarga olib keladi:

• 
  “Elektromagnit maydon nolga teng”( _{ }) yoki elektr va magnit maydon kattalik jihatdan bir-biriga teng va o‘zaro perpendikulyar_{ }) degan tasdiqlar invariantlar maydonning mutloq xarakteristikasi ekanligiga misol bo‘ladi. Haqiqatan ham bu holda barcha inersial sanoq sistemalarda bu tasdiq o‘rinli bo‘ladi.
  
• 
  Agar birorta inersial sanoq sistemada elektr va magnit maydon o‘zaro perpendikulyar, ya’ni (EH)=0 (_{ } bo’lsa, ular barcha inersial sanoq sistemalarda perpendikulyar bo‘ladi. Bu holat hatto (3.39)–(3.40) ga ko‘ra _{ } da ham o’rinli bo’ladi.
  
• 
  Agar birorta inersial sanoq sistemada _{ } va _{ } bo’lsa, barcha sistemalarda bu tengsizlik o‘rinli bo‘ladi. Bu holda shunday sanoq sistemani ko‘rsatish mumkinki, unga nisbatan maydon toza magnit bo‘ladi. Shunga o‘xshash _{ }va _{ }
  
• 
  Invariantlarning berilgan qiymatlarini qanoatlantiruvchi elektr va magnit maydonning ixtiyoriy boshqa qiymatiga Lorentz almashtirishlari orqali erishish mumkin. Xususan, shunday sanoq sistemani topish mumkinki unga nisbatan elektr va magnit maydonlar shu nuqtada bir-biriga parallel bo‘ladi. Bu sistemada EH=EH. Quyidagi tenglamalardan
  

Aniqlanishi lozim bo’gan maydonni toppish mumkin. Bu yerda _{ }va _{ } boshlang’ich sistemada maydon kuchlanganliklari.

Puasson qavslari: Klassik dinamikaning hamma soxalarida quyidagicha tariflanadigan
_{ } (2.2.31)

Va Puasson qavslari deb ataladigan kattalik juda muhim rol o’ynaydi. Bu yerdagi s- ko’rilayotgan sistemaning erkinlik darajasi, f va g funksiyalar esa umumlashgan kordinatalar va i,pulslardan tuzilgan va shu sistemaning biror xossasiga tegishli bo’lgan funksiyalaridir.Puasson qavslarini muhim tomoni quyidagi Puasson teoremasidan kelib chiqadi;