|
I. KARRALI INTEGRALLAR TARIFI
1.1. Karrali integrallar
Sirt integrallari nazariyasi ko'p jihatdan egri chiziqli integrallar nazariyasiga o'xshaydi. Ikki turdagi integrallar ko'rib chiqiladi: birinchi va ikkinchi turdagi sirt integrallari, ularning ta'riflari egri chiziqli integrallar uchun mos ta'riflarga o'xshash, sirtdagi ikkinchi turdagi sirt integralini aniqlash uchun yo'nalishni ko'rsatish kerak. Egri chiziqli integrallarga kelsak, birinchi va ikkinchi turdagi sirt integrallarini bog'lovchi formulalar mavjud. Biroq, bitta parametrni ko'rsatish orqali aniqlanadigan egri chiziqdan farqli o'laroq, sirtni tavsiflash uchun ikkita parametr kerak, shuning uchun sirt integrallarini hisoblash tekislikdagi mintaqa bo'yicha qo'sh integralni hisoblashga qisqartiriladi (Riman aniqligi o'rniga). integral, egri chiziqli integrallarga nisbatan).
Birinchi turdagi sirt integrali.
OXYZ bo'lgan uch o'lchovli fazoda bo'lak-bo'lak-silliq egri chiziq bilan chegaralangan bo'lak-silliq sirtni ko'rib chiqing . Yopiq sirtning (masalan, sharning) alohida holatida uning chegarasi bo'sh to'plamdir, ya'ni u ham bo'lak-bo'lak silliqdir.
Ō sirtda f ( M ) funksiya berilgan bo lsin , bu yerda sirtdagi nuqta va ( x , y , z ) - uning kartezian koordinatalari. f ( M ) funksiya Ō sirtda uzluksiz bo'lsin, ya'ni. ilgari kiritilgan yozuvda
Ixtiyoriy ravishda qismlarga bo'lingan bo'laklarga bo'lingan tekis egri chiziqlar yordamida Ō sirtining T qismini aniqlaymiz (1-rasm). Ō k ning ushbu qismlarining har birida biz koordinatali ixtiyoriy nuqtani tanlaymiz va integral yig'indini tuzamiz:
Рисунок 1. К определению поверхностного интеграла I рода
Qayerda – sirt maydoni Ō k .
Ta'rif 1. P va N sirtning Ō k qismining ixtiyoriy nuqtalari bo'lsin. Bu nuqtalarni to'liq Ōk da yotgan silliq egri chiziqning g yoyi bilan bog'laymiz. Bu yoyning uzunligini g(P, N) bilan, P va N nuqtalarni tutashtiruvchi va butunlay Ōk yuzasida yotgan eng qisqa yoy uzunligini ℓ(P, N) bilan belgilang:
Sirt qismining diametri deganda biz g miqdorini tushunamiz
T bo'linmasining diametri dT qismlarning diametridan eng kattasi:
Sirt ustidagi birinchi turdagi funktsiyaning sirt integrali - bu bo'limning n qismlari sonining cheksiz ko'payishi va bo'linish diametrining cheksiz kamayishi bilan integral yig'indining (1) chegarasi, agar bu chegara mavjud bo'lsa va T ni bo'lish usuliga yoki nuqta tanlashga bog'liq bo'lmasa :
Sirt integrali uchun boshqa belgilar ham qo'llaniladi:
Birinchi turdagi sirt integralining mavjudligi haqidagi teoremani isbotsiz shakllantiramiz:
Teorema 1. Agar Ō bo'lakli silliq G(Ō) egri chiziq bilan chegaralangan uzluksiz bo'lak-silliq sirt bo'lsa va f(M) funksiya unda uzluksiz bo'lsa, u holda funktsiyaning birinchi turdagi (2) sirt integrali. f(M) mavjud va aniq belgilangan.
Keling, birinchi turdagi sirt integralini hisoblashga murojaat qilaylik.
Teorema 2. OXY tekisligining chegaralangan D sohasida: , bu yerda , tenglama bilan aniqlangan silliq sirt va f(M) funksiya shu sirtda uzluksiz bo‘lsin. Bunda f(M) funksiyaning birinchi turdagi sirt integrali quyidagi formula bilan topiladi:
Рисунок 2. К доказательству теоремы 2
2-teoremaning isboti. Tekislikka Ō sirtni Ōk qismlarga bo'luvchi egri chiziqlar to'plamini proyeksiya qilaylik (2-rasm). Natijada, biz D mintaqasining qismlarga bo'linishini olamiz .
Formulaga ko'ra, bizda sirt maydoni Ōk uchun ifoda mavjud:
Ushbu tenglikni ikki tomonlama integral uchun o'rtacha qiymat teoremasini qo'llash orqali o'zgartirish mumkin:
qismning qaysidir nuqtasi qaerda va bu qismning maydoni.
Integral yig'indini (4) formulani (1) ifodaga almashtirib, biz quyidagilarni olamiz:
E'tibor bering (5) ifoda integral yig'indidan farq qiladi
ikki tomonlama integral
faqat qisman hosilalarning argumentlari qiymatlari va kvadrat ildiz belgisi ostida. Sirt silliq, degan faraz tufayli, bu qisman hosilalar D sohasining yopilishida uzluksiz bo'ladi. Keyin funktsiya ham uzluksiz bo'ladi.
Yopiq (ya'ni uning chegarasini o'z ichiga olgan) chegaralangan sohada uzluksiz bo'lgan funksiya unda bir xil uzluksizdir, ya'ni. har qanday qiymat uchun shunday mavjudki , agar bo'linma diametri d dan kichik bo'lsa, farq e dan kichik bo'ladi.
f(M) funksiya Ō sirtda uzluksiz bo'lganligi sababli, funktsiya shunday bo'ladi
uzluksiz va shuning uchun domen bilan chegaralangan :
tengsizlikni olamiz
shuning uchun, farq sifatida → 0, ya'ni. integral yig'indilarning chegaralari va mos keladi:
Bu 2-teoremaning tasdiqlanishini anglatadi.
Izoh. Funktsiyaning integral yig'indisi (1) sirt maydoni Ō ga teng. Shunday qilib, sirt maydonini birinchi turdagi sirt integrali yordamida topish mumkin:
(Kalinin V.V., Petrova I.V. K 18 Neft va gaz ta’limida matematika asosida. Nazariya va vazifalar: Darslik. - M .: Gubkin nomidagi Rossiya davlat neft va gaz universiteti, 2005 yil. 3-son 2-qism: Koʻplik, egri chiziqli va sirt integrallari - 121-126c)
Do'stlaringiz bilan baham: |
