Основные понятия теории вероятности

Произведением двух событий A и B называется событие C, которое состоит в одновременном появлении A и B. Обозначается AB или AB, читается A и B.
Если в результате появления события A всегда происходит событие B, то говорят, что B является частным случаем A или B входит в A. Обозначается BA.
Если BA и AB, то говорят, что A и B эквивалентны. Обозначается A=B.
Событие, которое состоит в том, что событие A не происходит, обозначается A, читается не A.
Для геометрических иллюстраций данных понятий используются диаграммы Вьенна. Изобразим пространство элементарных событий в виде квадрата, а события будем изображать заштрихованными подмножествами этого квадрата. Тогда

U V A B AB AB A

Рис.1. Геометрическая иллюстрация множественных понятий

Если при появлении события A никогда не может произойти событие B и при появлении события B никогда не может произойти событие A, то события A и B называются взаимно-исключающими или несовместными. Если несовместные события A и B таковы, что в результате испытания одно из них обязательно происходит, то события A и B называются противоположными. Очевидно:

B =A.


1.3. Поле событий
Пусть определено множество всех элементарных событий, которое может произойти в результате испытания. Множество всех событий, которые могут быть определены из элементарных с помощью операций и, или, не, дополненное достоверным и невозможным событием образует поле событий
Дадим формальное определение:
Поле событий S есть множество подмножеств пространства элементарных событий, которое обладает свойствами:
1. US.
2. Если AS, то и AS,
3. Если A₁, A₂, A₃... S, то и
Следствие: если A и B принадлежат S, то и AB принадлежат S.
1.4. Вероятность

Вероятность события A обозначается P(A). Вероятностью называется функция, определенная на поле событий, удовлетворяющая трем свойствам:

1. P(U)=1. Вероятность достоверного события равна 1.
2. Для любого события A вероятность P(A)0.
3. Если A₁,A₂, ..., A_n попарно-несовместные события, то вероятность суммы равна сумме вероятностей: .
Следствия.
1. Если A и B противоположные события, то P(A)=1  P(B).
Доказательство.
U=A+B;
P(U)=P(A+B)= P(A)+P(B);
1= P(A)+P(B);
P(A)=1P(B);
2. Вероятность невозможного события равна 0, P(V)=0.
U+V=U;
P(U+V)=P(U);
P(U)+P(V)= P(U);
1+P(V)=1.
3. Если AB, то P(A)P(B). Без доказательства.