Основная профессиональная образовательная программа высшего образования

Содержание основных разделов (тем) курса

Тема 1. Предварительные сведения
Задачи и программа курса. Место алгебраической геометрии в ряду других математических дисциплин. Источники её развития и области приложения. Формы самостоятельной работы студентов по изучению курса. Основная литература к курсу.
Сепарабельные расширения полей. Абсолютная группа Галуа. Трансцендентные расширения полей. Базис трансцендентности. Сепарабельно порождённые расширения. Локализация. Примеры локализаций. Элементы топологии.
Тема 2. Аффинные многообразия
Аффинное пространство. Аффинные алгебраические множества. Топология Зариского. Стандартные открытые множества. Идеал аффинного алгебраического множества, его свойства. Слабая теорема Гильберта о нулях. Радикал идеала, его свойства. Сильная теорема Гильберта о нулях. Неприводимость. Аффинные многообразия. Разложение на неприводимые компоненты. Понятие о размерности.
Тема 3. Функции на аффинных многообразиях
Полиномиальные функции. Координатное кольцо. Примеры. Идеалы аффинного координатного кольца и теорема Гильберта о нулях. Координатное кольцо произведения многообразий. Морфизм Фробениуса. Морфизмы. Индуцированный морфизм. Доминантный морфизм. Эквивалентность категорий аффинных многообразий и аффинных алгебр. Рациональные функции. Поле рациональных функций. Регулярность в точке. Локальное кольцо в точке. Понятие структурного пучка аффинного многообразия. Рациональные отображения. Бирациональная эквивалентность.
Тема 4. Проективные многообразия
Проективное пространство. Однородные координаты. Проективное подпространство. Градуированные кольца и модули. Однородные идеалы. Проективные алгебраические множества. Аффинный конус проективного множества. Топология Зарисского. Идеал проективного алгебраического множества. Проективные многообразия. Градуированное кольцо проективного алгебраического множества. Проективное замыкание. Гомогенизация и дегомогенизация.
Тема 5. Функции на проективных многообразиях
Рациональные функции. Поле рациональных функций. Регулярность в точке. Координатное кольцо. Изоморфизм полей рациональных функций аффинного многообразия и его проетивного замыкания. Рациональные отображения. Доминантные рациональные отображения. Бирациональная эквивалентность. Отображение Сегре.