Основная профессиональная образовательная программа высшего образования

Тема 6. Начальные понятия теории схем
Мотивация введения понятия схемы. Спектры колец. Спектральная топология. Функции на спектре. Размерность спектра. Предпучки. Пучки. Слой пучка в точке. Морфизмы пучков. Структурный пучок. Окольцованные пространства и их морфизмы. Локально окольцованные пространства и их морфизмы. Аффинные схемы. Схемы и их морфизмы. Схемы над базой и их морфизмы. Редуцированные и неприводимые схемы. Связь с предмногообразиями. Расслоенное произведение схем. Тензорное произведение модулей и алгебр. Свойства тензорного произведения. Связь с расслоенным произведением. Замкнутые подсхемы. Отделимые схемы. Целые схемы. Абстрактные многообразия. Касательное пространство к схеме в точке. Размерность схемы. Склейка схем. Геометрические объекты. Обратимые пучки. Собственные морфизмы. Собственные схемы. Полные многооразия. Гладкие схемы над базой. Представляющие функторы.
Тема 7. Многообразия над конечными полями
Действие абсолютной группы Галуа на точки. Орбита точки. Поле определения точки. k-рациональные точки. Степень точки. k-топология Зариского. Идеал алгебраического множества над k. Неприводимость над k. Теорема Гильберта о нулях над k. Координатное кольцо над k. Поле рациональных функций над k. Морфизм Фробениуса. Дзета-функция алгебраического многообразия. Гипотезы Вейля. Общее понятие о когомологиях схем. Понятие об ℓ-адических когомологиях, их свойства. Формула Лефшеца для числа неподвижных точек. Формула Лефшеца для числа рациональных точек.
Тема 8. Редукция модулярных кривых
Модулярные кривые как многообразия модулей. Относительные эллиптические кривые. Схемы модулей эллиптических кривых. Специальные схемы. Рациональные точки кривых над квадратичным расширением простого поля.

3.2. Тематика практических занятий

Тема 1. Локализация колец.
Тема 2. Изучение примеров аффинных многообразий.
Тема 3. Изучение примеров функций на аффинных многообразиях.