Основная профессиональная образовательная программа высшего образования

Содержание основных разделов (тем) курса

Тема 1. Функциональные поля
Задачи и программа курса. Место теории функциональных полей в ряду других математических дисциплин. Источники её развития и области приложения. Формы самостоятельной работы студентов по изучению курса. Основная литература к курсу.
Сепарабельные расширения полей. Теорема о примитивном элементе. Совершенные поля. Локальные кольца. Функциональное поле. Поле констант. Рациональное поле. Сепарирующий элемент поля.
Дискретные нормирования. Кольца нормирования. Точки поля. Локальный параметр точки. Поле классов вычетов. Отображение классов вычетов. Нули и полюсы. Пример рационального поля.
Дивизоры. Сложение дивизоров. Степень дивизора. Дивизоры нулей и полюсов элемента функционального поля. Главный дивизор. Теорема о степени главного дивизора. Линейно эквивалентные дивизоры. Группа классов дивизоров. Якобиан функционального поля. Пример рационального поля. Пространство Римана-Роха, ассоциированное с дивизором. Размерность дивизора. Род функционального поля. Пример рационального поля.
Тема 2. Дифференциалы и теорема Римана-Роха
Дифференцирования функционального поля, их свойства. Дифференцирование по сепарирующему элементу. Размерность пространства дифференцирований. Обобщение понятия дифференцирования.
Дифференциалы функционального поля. Полные дифференциалы элементов функционального поля. Свойства полных дифференциалов. Размерность пространства дифференциалов. Базис пространства дифференциалов.
Канонический дивизор и канонический класс. Пространство дифференциалов, ассоциированное с дивизором. Индекс специальности дивизора. Теорема Римана-Роха. Следствия из теоремы Римана-Роха. Пример рационального поля.
Тема 3. P-адические разложения и вычеты
P-адические разложения элементов функционального поля. Дифференцирование P-адических разложений. Пополнение функционального поля в точке. Вычет дифференциала в точке. Свойства вычетов. Теорема о вычетах. Примеры.