Основная профессиональная образовательная программа высшего образования

Содержание основных разделов (тем) курса

Тема 1. Алгебраические кривые
Задачи и программа курса. Место метода комплексного умножения и его приложений в криптографии в ряду других математических дисциплин. Источники его развития и области приложения. Формы самостоятельной работы студентов по изучению курса. Основная литература к курсу.
Гладкие кривые. Критерий гладкости Якоби. Нормирования в точке. Кольцо нормирования. Соответствие между орбитами Галуа на кривой и множеством нормализованных нормирований.
Тема 2. Теория дивизоров на алгебраических кривых
Дивизоры. Носитель дивизора. Эффективный дивизор. Расширение поля констант. Рациональные дивизоры. Дивизор функции. Степень дивизора функции. Пространство Римана – Роха. Размерность дивизора. Род функционального поля. Дифференцирования и дифференциалы. Канонический дивизор. Теорема Римана – Роха. Формула Гурвица.
Тема 3. Группы классов дивизоров и идеалов
Группа классов дивизоров. Вложение группы классов дивизоров в аффинное пространство. Расширение поля констант. Якобиан кривой. Бирациональная эквивалентность группы классов дивизоров и абелева многообразия. Дробные идеалы. Группа классов идеалов кривой. Изоморфизм якобиана и группы классов идеалов кривой.
Тема 4. Римановы поверхности и их якобианы
Понятие мероморфной функции. Поле мероморфных функций. Разложение мероморфной функции в ряд Лорана. Нули и полюсы. Карты и атласы. Понятие римановой поверхности. Пример. Расширенная комплексная плоскость. Голоморфные и мероморфные функции на римановой поверхности. Голоморфные и биголоморфные отображения римановых поверхностей. Накрытия. Интегралы на римановой поверхности. Циклы и границы. Первая группа гомологий. Решётки. Якобиан римановой поверхности. Отображение Абеля. Теорема Абеля – Якоби.
Тема 5. Абелевы многообразия над C
Комплексные торы. Римановы формы на решётках. Поляризованное абелево многообразие. Матрица периодов. Двойственное абелево многообразие. Главная поляризация. Матрица периодов алгебраической кривой. Морфизмы абелевых многообразий. Изогении. Простые абелевы многообразия.