О приближенном вычислении криволинейного интеграла первого рода

c_k = = (12)
где
B_k =
Наименьшее значение интеграла (11), который достигается при с_к, определённых равенством (12), равно
(13)
Зная c_k , из формул (10) легко определить коэффициенты a_k наилучшей квадратурной формулы для класса W^(l)L₂ (M;Q) с фиксированными узлами S* = , а именно
a_k = c_k- c_k+1, k =1,2,...,N; c_n+1 = 0. (14)
Если учесть (13), то для этой формулы будем иметь следующую точную оценку
(15)
Приведём примеры.
1. Пусть q(x(t), y(t)) = 1, S* = . По формулам (12), (14) и (15) легко вычислить, что
a_k = (k = 1,2,….,N-1), a_N =


(1; W⁽¹⁾L₂(M;Q); ) =

2. 
   Пусть q(x(t), y(t)) = t. Применяя формулы (12) и (14), получаем:
   

a_k =
Применяя оценку (15), будем иметь
(t; W⁽¹⁾L₂(M;Q); )
= (16)

В частном случае, как и в предыдущем случае, полагая

для оптимальной по коэффициентам
a_k = (k = 1,2,….,N-1), a_N = -
квадратурной формулы (16) найдём выражение погрешности



ЛИТЕРАТУРА

1. 
   Никольский С.М. Квадратурные формулы. - М.: Наука, 1979, 256 с.
   
2. 
   Сборник задач им. В.И.Минорского. - М.:Наука, 1987, 334 с.
   
3. 
   Крылов В.И. Приближенное вычисление интегралов. - М.: Наука, 1967, 500 с.
   
4. 
   Б.П. Демидович. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. – изд. ЧеРо (Московский университет), 1997, 624 с.
   
5. 
   В.С. Шипачев. Высшая математика – изд.4 «Высшая школа», 1998г., 480с.
   
6. 
   Шабозов М.Ш., Мирпоччоев Ф.М. Оптимизация приближенного интегрирования криволинейного интеграла первого рода для некоторых классов функций и кривых - ДАН РТ, 2010, т.53, 6, с.415-419.
   
7. 
   Натансон И.П. Конструктивная теория функций. - М.: Гостехиздат, 1949, 688 с.