|
MAVZU: PREDIKATLAR ALGEBRASIGA KIRISH. PREDIKAT VA KVANTORLAR. PREDIKATLAR ALGEBRASI PREDIKATLAR ALGEBRASI FORMULAS
Predikatlar ustida amallar.
Predikatlar algebrasi mulohazalar algebrasini kengaytirish natijasida hosil qilingan bo‘lib, mulohazalar algebrasini ûz ichiga olad Predikatlar algebrasining asosiy tushunchasi – predikat tushunchasi bilan tanishib chiqaylik. Bizga birorta iùtiyoriy bo‘sh bo‘lmagan predmetlar to’plami ℳ berilgan bo‘lsin. ℳ to‘plamning ixtiyoriy « a » elementi o‘aqida aytilgan mulohazani R ( a ), R ( a ) rost yoki yolg‘on mulohaza bo‘lishi mumkin. Masalan, ℳ – natural sonlar to‘plamidan iborat bo‘lsin, R ( a ) – « a – tub son » - degen darak gap bo‘lsin. U holda R ( 1 ) – « 1 – tub son » - yolg‘on mulohaza, R ( 2 ) – « 2 – tub son » - rost mulohaza, R ( 3 ) –
« 3 – tub son » - rost mulohaza, R ( 4 ) – « 4 - tub son » - yolg‘on mulohaza
Ko‘rinib turibdiki, R ( a ) - a ning o‘rniga ℳ to‘plamning aniq elementlarini qûyganimizda rost yoki yolg‘on mulohazalarga aylanar ekan.
Xuddi shunday, ℳ to‘plamining ikkita elementi o‘aqida aytidlgan mulohaza R ( a, v ) ko‘rinishida belgilanishi mumkin va h.k.
1.1 - ta’rif. Bo‘sh bo‘lmagan ℳ to‘plam berilgan bo‘lsin. R : ℳ n ® { 0, 1 }, n q 0, 1, . . . ko‘rinishdagi har qanday funktsiya n ûrinli predikat deyiladi
nq0 bo‘lganda ℳ0 q { Æ } bo‘lib, R( Æ ) q 0 yoki R( Æ ) q 1 ko‘rinishdagi ajratilgan elementlar hosil bo’ladi Bu ajratilgan elementlarni yolg‘on yoki rost mulohaza deb tushunishimiz mumkin. Shunday qilib o ûrinli predikat – mulohazadir.
Ikki ûrinli predikatga misol keltiraylik. Natural sonlar to‘plami N da berilgan R( a , v ) – « a son v soniga qoldiqsiz bo‘linad » - degan predikatni kûrib chiqaylik. Uning qiymatquyidagicha :
R ( 1, 1 ) q 1, R ( 1, 2 ) q 0 , . . . , R ( 2, 1 ) q 1
R ( 2, 2 ) q 1, R ( 2, 3 ) q 0 , . . . , R ( 3, 1 ) q 1 va ù.k.
Bir ûrinli predikatlar bilan to‘liqroq tanishib chiqamiz.
Predikatlar ustida ham mulohazalar ustida bajarilgan amallarni kiritishimiz mumkin. ù , Ù , Ú , Þ , Û amallari bir ûrinli predikatlar uchun quyidagicha aniqanadi :
ℳ to‘plamda aniqangan R va Q predikatlar berilgan bo‘lsin. U holda :
( ù R ) – R ning inkori ;
( R Ù Q ) – P va Q ning kon’yunktsiyasi ;
( P Ú Q ) – P va Q ning diz’yunktsiyasi ;
( P Þ Q ) – P va Q ning implikatsiyasi ;
( P Û Q ) – P va Q ning ekvivalentsiyasi quyidagicha aniqanadi :
(ù R ) (x) qù ( R ( x )) , (R * Q ) ( a ) q R ( x ) * Q ( x ),
bu yerda * - Ù , Ú , Þ , Û amallardan bir
1.2 - misol. N – natural sonlar to‘plamida berilgan
R ( x ) –“ x – tub son “, Q ( x ) – « x – toq son » - predikatlari berilgan bo‘lsin. U holda ( ù R ) ( x ) qù ( R ( x )) – « x – tub son emas » degan predikatdir. x ning bir nechta qiymatlarida ù R predikatning qiymatlarini topamiz :
( ù R )( 3 ) q ù ( R( 3 )) qù 1 q 0, ( ù R )( 4 ) q ù ( R( 4 )) qù 0 q 1
( Q Ù R ) (x) – « x – toq va tub son » - degan predikatni ham x ning bir nechta qiymatlarida rost yoki yolg‘on bo‘lishini kûramiz
( Q Ù P )( 1 ) q Q( 1 ) Ù P( 1 ) q 1 Ù 0 q 0,
( Q Ù P )( 2 ) q Q( 2 ) Ù P( 2 ) q 0 Ù 1 q 0,
( Q Ù P )( 3 ) q Q( 3 ) Ù P( 3 ) q 1 Ù 1 q 1.
Shunga o‘xshash R Ú Q, P Þ Q, P Û Q predikatlarning mohiyatini tushunib olish qiyin emas.
1.3 - ta’rif. ℳ to‘plamda aniqangan R(x) predikat berilgan bo‘lsin. U holda R(x) ni rost mulohazaga aylantiradigan x ning ℳ to‘plamga tegishl barcha qiymatlarini Yer orqali belgilaymiz. Yer - R( x ) ning rostlik soùasi deyiladi
Rostlik sohasi isboti qiyin bo‘lmagan quyidagi xossalarga ega:
10. Ye ù P q ℳ \ Ye P.
20. E P Ù Q q E P ìü E Q .
30. E P Ú Q q E P îþ E Q.
40. E P Þ Q q E ù P îþ E Q.
Uchinchi xossaning isbotini ko‘rib chiqaylik.
Haqiqatdan ham, agar x Ye P Ú Q bo‘lsa, u holda R ( x ) q 1 yoki Q ( x ) q 1 bo’ladi Birinchi holda x Î Ye R , ikkinchi holda
x Î E Q ekanligidan x Î Ye R îþ Ye Q kelib chiqadi
Aksincha, x Î Ye R îþ Ye Q bo‘lsin. U holda, birlashmaning ta’rifiga ko’ra, x Î Ye R yoki x Î Ye Q ekanligi , ya’ni
R ( x ) q 1 yoki Q ( x ) q 1 kelib chiqadi Demak, R ( x ) Ú Q ( x )q 1 va x Î Ye R îþ Ye Q.
Predikatlar ustida bajariladigan yana ikkita amal kiritamiz :
4 - ta’rif. ℳ to’plamda aniqangan R ( x ) predikat berilgan bo‘lsin. Agar x ning ℳ to’plamdagi barcha qiymatlarida R ( x ) q 1 bo‘lsa, u holda "x R ( x ) – ifoda rost mulohaza, aks holda, ya’ni ℳ to’plamning kamida bitta x0 elementi uchun R ( x0 ) q 0 bo‘lsa, yolg‘on mulohazadir.
5 - ta’rif. $ x R ( x ) – ifoda x ning ℳ to’plamdagi kamida bitta x0 elementi uchun R ( x0 ) q 1 bo‘lganda rost, qolgan hollarda yolg‘on mulohazadir.
" - belgi, umumiylik kvantorining belgisi,
$ - belgi, mavjudlik kvantorining belgis
"x R ( x ) – « barcha x lar uchun R ( x ) bo’lad », $x R ( x ) –
« shunday x topiladi-ki, R ( x ) bo’lad » deb o’qilad
"x R ( x ) va $x R ( x ) ifodalardagi x o‘zgaruvchi " yoki $ kvantorlari orqali bog‘langan, yo bo‘lmasa, x o‘zgaruvchiga " yoki $ kvantori osilgan deyiladi
Takrorlash uchun savollar :
Predikat deb nimaga aytilad ?
Predikatlar ustida mantiq amallari qanday bajariladi ?
Predikatning rostlik sohasiga ta’rif bering.
Predikat rostlik sohasining hossalarini ayting.
Predikatlardan kvantorlar yordamida mulohaza hosil qilishni tushuntiring.
Mavjudlik va umumiylik kvantorlari yordamida hosil bo‘lgan mulohazalarning rostlik qiymatqanday aniqanadi ?
M a sh q l a r :
1. quyidagi ifodalar ichidan predikatlarni ajrating :
1) « x 5 ga bo‘linad » ( x Î N ) ;
« x2 + 2x + 4 » ( x Î R ) ;
« ctg 450 q 1 » ;
4)« x va u lar z ning turli tomonlarida yotadi » ( x va u lar tekislikdagi nuqtalar to’plamiga, z esa tekislikdagi to‘g‘ri chiziqlar to’plamiga tegishl ) .
quyidagi mulohazalarni o‘qing va ularning rostlik qiymatini aniqlang :
"x$u( x + u q 7 ) ;
$u"x( x + u q 7 ) ;
$x$u( x + u q 7 ) ;
"x"u( x + u q 7 ) ;
"x ((x2 > x ) Û (( x > 1 ) Ú ( x < 0 ))) ;
$a "b $x ( x2+ ax + b q 0 ) .
Kvantorlar yordamida quyidagi predikatlardan hosil qilish mumkin bo‘lgan barcha mulohazalarni quring va ularning rostlik qiymatini aniqlang :
x2 + 2x + 1 q ( x + 1 )2.
x2q u2 Þ x q u.
sinx q siny .
( x < 0 ) Ú ( x q 0 ) Ú ( x > 0 ).
quyidagi predikatlarning rostlik sohalarini aniqlang :
« x2 + 4 > 0 » , M q R.
« x1 < x2 » , M1 q M2 q R.
« Sinx > 1 » , M q R .
« x 3 ga karrali » , M q { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }.
quyidagi predikatlar teng kuchli bo’ladgan to’plamni aniqlang :
« x 3 ga karrali » , « x 7 ga karrali ».
« x – parallelogramm » , « x to’rtburchakning diagonallari teng » .« x – tub son » , « x – juft son » .
« x2 – x – 2 q 0 » , « x3 + 1 q 0 » .
Do'stlaringiz bilan baham: | 
