N. P. Rasulov, I. I. Safarov, R. T. Muxitdinov

.

Bu yerda а =–2, b = 1, с =0 , d =1 va 1/2, 1/4 kasrlarning umumiy maxraji 4 ekanligini nazarga olib,

1–2x=t⁴ , x=(1–t⁴)/2 , dx=–2t³dt,

almashtirma bajaramiz. Natijada berilgan integral quyidagi ko‘rinishga keltiriladi va hisoblanadi:

.

2. 
   Eyler almashtirmalari. Shu bobning boshida (§2, 2.5. ga qarang) kvadrat uchhad qatnashgan integrallarni ayrim xususiy hollarda hisoblash masalasini ko‘rib o‘tgan edik. Endi bu masalani nisbatan umumiyroq bo‘lgan
   

ko‘rinishdagi integrallar uchun qaraymiz. Bunday irratsional ifodali integrallar shveysariyalik buyuk matematik L. Eyler (1707-1783 y.) tomonidan taklif etilgan almashtirmalar yordamida ratsional kasrli integralga keltiriladi va hisoblanadi. Bu yerda uch hol qaraladi.

I hol. Bunda ko‘rilayotgan IE integralda а>0 deb olinadi. Bu holda integralda x o‘zgaruvchidan yangi t o‘zgaruvchiga Eylеrning I alshmashtirmasi dеb ataladigan va

ko‘rinishda bo‘lgan almashtirma orqali o‘tiladi. Bu holda IE integraldagi x, va dx yangi t o‘zgaruvchi orqali ratsional kasr ko‘rinishida ifodalanadi. Demak, qaralayotgan IE integral ratsional kasrli integralga keltirilib, ko‘zlangan maqsadga erishildi.

Misol sifatida ushbu integralni hisoblaymiz :

.

Bu yerda а=1>0 bo‘lgani uchun almashtirish bajaramiz. Bu holda

.

Bu tengliklarni berilgan integralga qo‘yib, quyidagi natijalarga kelamiz:

.