N. P. Rasulov, I. I. Safarov, R. T. Muxitdinov

Trigonometrik ifodali integrallar. Bu yerda biz trigonometrik funksiyalar qatnashgan

ko‘rinishdagi integrallarni qaraymiz. Bunda R(sinx,cosx) ifoda sinx va cosx ustida faqat arifmetik amallar bajarilgan ifodani belgilaydi. Bu integral almashtirma yordami bilan hamma vaqt ratsional kasrning integraliga keltirilishi mumkinligini ko‘rsatamiz. Haqiqatan ham

,

va

ekanligidan sinx, cosx, x, dx kiritilgan t orqali ratsional ifodalanadi. Shu sababli t=tg(x/2) universal almashtirma dеb ataladi.Demak , universal almashtirma orqali IT integral ratsional kasrli integralga keltiriladi:

.

Misol sifatida ushbu

trigonometrik ifodali integralni hisoblaymiz. Buning uchun t=tg(x/2) universal almashtirmadan foydalanib, bu integralni quyidagi ko‘rinishga keltirib hisoblaymiz:

.

Endi ayrim xususiy hollarni qaraymiz. Bu hollarda trigonometrik ifodali aniqmas integral universal almashtirmadan farqli boshqa almashtirma orqali osonroq hisoblanishi mumkin.

• 
  ko‘rinishdagi integralni hisoblash uchun t=sinx almashtirmadan foydalanish mumkin. Bunda dt=cosxdx bo‘ladi va
  

ratsional kasrli integralga kelinadi. Masalan,

• 
  Agar trigonometrik ifodali aniqmas integral
  

ko‘rinishda bo‘lsa, unda t=cosx almashtirma maqsadga muvofiqdir. Chunki bu holda dt= –sinxdx bo‘lib, berilgan integral to‘g‘ridan-to‘g‘ri ratsional kasrli integralga keladi:

.

Masalan,

.

• 
  ko‘rinishdagi trigonometrik ifodali aniqmas integrallar
  

t=tgx , х=аrctgx,

almashtirma yordamida darhol ratsional funksiyaning integraliga keltiriladi:

.

Masalan,

.

• 
  ko‘rinishdagi, ya’ni integral ostidagi ifodada sinx va cosx funksiyalar faqat juft darajalarda qatnashgan integrallarni qaraymiz. Bu holda tgx=t almashtirmadan foydalanish mumkin. Bunda,
  

bo‘lgani uchun, qaralayotgan integral ostidagi ifoda ratsional kasrga quyidagicha almashinadi:

.

Masalan,

Bu paragrafni quyidagi integrallarni ko‘rish bilan yakunlaymiz:

.

Bu integrallar quyidagi trigonometrik formulalar orqali yoyish usulida ikkita oson hisoblanadigan integrallarga keltiriladi:

,

,

.

Masalan,

.

Misol sifatida ushbu integralni hisoblaymiz:

.
XULOSA

Oldin ixtiyoriy ratsional funksiyadan olingan integralni hisoblash mumkinligi va natija elementar funksiyalar orqali ifodalanishini ko‘rib o‘tgan edik. Bu masala irratsional ifodali integrallar uchun qaralganda vaziyat butunlay o‘zgaradi. Birinchidan barcha irratsional funksiyalarni ratsional funksiya singari umumiy ko‘rinishda yoza olmaymiz. Ikkinchidan ma’lum bir ko‘rinishdagi irratsional funksiyalarning integrallari, unda qatnashuvchi parametrlarning qiymatlariga qarab, ayrim holda elementar funksiyalar orqali ifodalansa, boshqa hollarda esa maxsus funksiyalar ko‘rinishida bo‘ladi. Bunga misol sifatida binomial integrallarni ko‘rsatish mumkin. Chebishev tomonidan bu integral faqat uch holda elementar funksiyalarda ifodalanishi isbotlangan. Ammo ayrim ko‘rinishdagi irratsional ifodali integrallarni ma’lum bir almashtirmalar yordamida ratsional funksiyadan olingan integrallarga keltirish orqali hisoblash mumkin. Kvadrat uchhad qatnashgan ayrim irratsional ifodalar Eyler almashtirmalari orqali ratsional funksiyaga keltiriladi va hisoblanadi.

Trigonometrik funksiyalar ishtirok etgan integrallar ham doimo elementar funksiyalarda ifodalanmasligini oldin (§2 ga qarang) Frenel integrali va integral sinus misollarida ta’kidlab o‘tgan edik. Ammo trigonometrik funksiyalar ratsional ko‘rinishda qatnashgan bir qator integrallarni universal almashtirma yordamida ratsional funksiyaga keltirish orqali elementar funksiyalarda ifodalash mumkin.
Tayanch iboralar

* Irratsional funksiya * Binomial integral * Eyler almashtimalari * Ratsional trigonometrik ifoda * Universal almashtirma

Takrorlash uchun savollar

1. 
   Qachon funksiya irratsional deyiladi?
   
2. 
   Binomial integral qanday ko‘rinishda bo‘ladi?
   
3. 
   Qaysi hollarda binomial integral elementar funksiyalar orqali
   

ifodalanadi?

4. 
   Binomial integrallarni hisoblash uchun qanday almashtirmalardan
   

foydalaniladi?

5. 
   ko‘rinishdagi irratsional ifodali integrallar qanday
   

hisoblanadi?

6. 
   ko‘rinishdagi irratsional ifodali integralni
   

hisoblash uchun Eylеrning almashtirmalari qanday ko‘rinishda bo‘ladi?

7. 
   ko‘rinishdagi trigonometrik ifodali integrallarni
   

hisoblash uchun qo‘llaniladigan universal almashtirma qanday

ko‘rinishda bo‘ladi?

8. 
   ko‘rinishdagi trigonometrik ifodali integrallar
   

universal almashtirma orqali qanday hisoblanadi?

9. 
   ko‘rinishdagi integrallar qanday hisoblanadi?
   
10. 
    ko‘rinishdagi integrallar qanday almashtirma yordamida
    

hisoblanadi?

11. 
    ko‘rinishdagi integrallar qanday hisoblanadi?
    

Testlardan namunalar

1. 
   Qaysi shartda binomial integral elementar funksiyalarda integrallanuvchi bo‘lmasligi mumkin?
   

A) –butun son ; B) –butun son ; C) s–butun son ;

D) p–butun son ; E) keltirilgan barcha hollarda integrallanuvchi bo‘ladi.

2. 
   irratsional funksiya qanday almashtirma orqali ratsional kasrga keltiriladi?
   

A) ; B) ; C) ; D) ; E) .

3. 
   T
   rigonometrik funksiyali ifodalarni ratsional kasrga ketiruvchi universal almashtirmani ko‘rsating.
   

A) sinx=t; B) cosx=t; C) tgx=t; D) ctgx=t; E) tg(x/2)=t.
Mustaqil ish topshiriqlari

1. 
   Quyidagi irratsional ifodali aniqmas integrallarni hisoblang:
   

a) ; b) .

2. 
   Quyidagi trigonometrik ifodali integralni universal almashtirma yordamida hisoblang:
   

.

3. 
   Quyidagi trigonometrik ifodali integrallarni hisoblang:
   

a) ; b) ; c) ;

d) ; e) .