N. P. Rasulov, I. I. Safarov, R. T. Muxitdinov

II hol. Endi c>0 bo‘lsin. Bu holda IE integralni hisoblash uchun ushbu Eylerning II almashtirmasidan foydalanamiz:

.

Bu almashtirma natijasida ratsional kasrli integralga kelamiz. Misol sifatida ushbu integralni hisoblaymiz:

.

Eylerning II almashtirmasiga ko‘ra quyidagilarni olamiz:

.

Hosil qilingan bu ifodalarni berilgan integralga qo‘yamiz:

=

.

III hol. Qaralayotgan IE integral ostidagi kvadrat uchhad  va  haqiqiy ildizlarga ega, ya’ni diskriminant D=b²–4ac>0 bo‘lsin. Bu holda

ko‘rinishdagi Eylеrning III almashtirmasidan foydalanib, integral ostidagi ifodani ratsional kasr ko‘rinishiga keltiramiz.

Misol sifatida integralni hisoblaymiz.

Bu yerda 2+х–х² kvadrat uchhad  =–1 va =2 haqiqiy ildizlarga ega va uni 2+х–х² = (х+1) (2–х) ko‘rinishda yozish mumkin. Shu sababli Eylerning III almashtirmasidan foydalanamiz va undan quyidagi tengliklarga ega bo‘lamiz:

.

Bundan tashqari

ekanligidan ham foydalanib, yuqoridagi integralni quyidagicha hisoblaymiz:

.

Logarifm ostidagi kasrni x orqali ifodalaymiz va soddalashtirib,

natijani olamiz.

3.