N. N. Zaripov kompyuter grafikasi

3.5. Proyeksiyalar

Biror bir uch o`lchovli obektni ikki o`lchovli tekislikda (kompyuter ekranida) qurish uchun avvalo uni qaysi qismlari ko`rinarli, qaysi qismlari ko`rinmas, yani obyektning boshqa yoqlari bilan yopiqligini aniqlash kerak. Proektsiyalashda markaziy yoki paralel proektsiyalash ishlatiladi.

Proektsiyalashda proektorlar obektning har bir nuqtasidan o`tadi. Proektsiyalash yo`nalishi buycha tasvir tekisligiga yaqinroq masofadagi nuqtalar

53
ko`rinadigan hisoblanadi. Sodda ko`ringanligiga qaramay ushbu masalani yechish ancha qiyinchiliklarga va ayrim hollarda biroz hisob kitoblarga olib keladi. Ushbu masalani yechishda kompyuter grafikasida ikkita asosiy yondashish mavjud:

1. 
   Proektsiyalash yo`nalishi bo`yicha tasvir tekisligiga yaqinroq masofada joylashgan obyektning nuqtalarini aniqlash. Bunda displeyning rastr xossalaridan foydalaniladi.
   

2. 
   Obyektlarni yoki obyekt qismlarini o`zaro taqqoslab obyektlarni yoki obyekt qismlarini ko`rinishligini aniqlash. Ikki yondashishni o`zaro ichiga oluvchi algoritmlar ham mavjud.
   

Agar biror bir geometrik obyekt n-ta nuqtalardan iborat bo`lsa (ya’ni berilgan bo`lsa), u holda almashtirish matritsasi M aniqlangandan so`ng, berilgan nuqtalarni

Vi(xi, yi, zi), i=1, n matritsasini hosil qilamiz va so`ng ko`paytirish amalini bajaramiz:

(3.5.1)
Platon jismlari (ko`pyoqliklar). Barcha yoqlari to`g`ri ko`pburchaklardan va barcha uchlariga tegishli burchaklar o`zaro teng bo`lgan qavariq ko`pyoqliklar muntazam ko`pyoqliklar deb ataladi (Platon jismlari). Beshta muntazam ko`pyoqliklar mavjud (Buni Evklid isbotlagan): to`g`ri tetraedr, geksaedr(kub), oktaedr, dodekaedr, ikosaedr. Ularning asosiy xakteristikalari:

Nomi	Yoqlari (Yo)	Qirralari (Q)	Uchlari (U)
	soni	soni	soni
Tetraedr	4	6	4
Geksaedr	6	12	8
Oktaedr	8	12	6
Dodekaedr	12	30	12
Ikosoedr	20	30	20

Ko`pyoqlarning xarakteristikalari jadvali

54

Yo, Q va U o`zaro quyidagi Eyler tengsizligi bilan bog`liq: Yo+U=Q+2. Ko`pyoqliklarni qurishni ko`ramiz. Buning uchun ularni uchlarini topish

yetarli hisoblanadi. Geksaedrni (kub) qurish qiyinchilik tug`dirmaydi.

Tetraedrni qurish uchun kubning qarama – qarshi yoqlaridagi ayqashgan diagonallarini o`tkazish kerak.

Oktaedr qurishda quyidagi xossadan foydalanamiz: oktaedrning uchlari kub yoqlarining markazlariga (og`irlik) mos keladi, ya’ni yoqlar uchlarining o`rta arifmetik qiymatlari.

Ikosaedrni qurishni ko`ramiz. Z o`qida Z = ±0,5 markazi, r=1 radiusi va XY tekisligiga parallel ikkita aylana o`tkazamiz. Har aylanani beshta teng bo`lakka bo`lib, ularni rasmda ko`rsatilgan tartibga mos birlashtiramiz va ikosaedrning yoqlarini tashkil qiluvchi o`nta muntazam uchburchakni olamiz. Qolgan yoqlari uchun

= ±	√5		(3.5.2)
	2

nuqtalarini olamiz va mos aylanalarning nuqtalari bilan tutashtiramiz.

Dodekaedrning uchlari ikosaedr yoqlarining og`irlik markazlari bo`ladi.[4]

Muntazam ko`pyoqliklar.