Министерство по развитию информационных технологий и связи республики узбекистан

Мультифизическое моделирование магнитной гидродинамики
Моделирование МГД-процессов — принципиально мультифизическая задача, которая требует задания взаимосвязи между потоком жидкости, электрическим током и магнитными полями. Все эти различные полевые величины можно описать дифференциальными уравнениями в частных производных, которые решаются методом конечных элементов.

Постановка МГД-задачи: в канале между двумя магнитами проводящая жидкость с приложенным электрическим полем.
В качестве примере возьмем относительно простую эталонную задачу (схема показана выше) о несжимаемой проводящей жидкости в непроводящем прямоугольном канале, соединяющем два бесконечных резервуара (не показаны) с одинаковым гидростатическим давлением. Два электрода с обеих сторон канала, на которых создана разность потенциалов, пропускают через жидкость электрический ток. Кроме того, сверху и снизу установлены два круглых магнита. Магниты создают статическое магнитное поле  , в котором в жидкости, обладающей проводимостью  и движущейся со скоростью  , возникают индуцированные токи  . Помимо этих индуцированных токов присутствуют также токи, возникающие ввиду граничных условий для электрического потенциала  , поэтому суммарный ток в жидкости равен:

Этот ток, протекающий через магнитное поле, приводит к возникновению объемной силы, воздействующей на жидкость и равной  , в результате чего жидкость перекачивается из одного резервуара в другой. Допустим, что система работает в стационарном режиме.
Настройка связки расчета электрических полей, магнитных полей и полей течения
Для описания электрических и магнитных полей в объеме жидкости в рамках этой задачи требуется решить систему дифференциальных уравнений в частных производных. Уравнения записываются следующим образом:

и

Эта система уравнений решается с помощью физического интерфейса Magnetic and Electric Fields (Магнитные и электрические поля), входящего в состав модуля AC/DC, с использованием модели материала Ampère's Law and Current Conservation (Закон Ампера и закон сохранения тока) и отдельной опции Velocity (Lorentz Term) (Скорость, Лоренц-фактор).
В пространстве вокруг движущейся жидкости ток не течет, так что требуется только решить одно векторное уравнение:

где  — остаточная магнитная индукция, которая не равна нулю только в доменах, соответствующих магнитам. Чтобы решить лишь уравнение выше, нужно использовать только узел Ampère's Law в интерфейсе Magnetic and Electric Fields.
Предполагается, что свойства стенок канала не влияют на э/м поля, поэтому в модели они не учитываются. Для настройки задачи используется определенных набор свойств материала и граничных условий. В качестве граничных условий для магнитного поля используется условие Magnetic Insulation (Магнитная изоляция) на всех внешних границах, кроме плоскости XY, к которой применяется условие Perfect Magnetic Conductor (Идеальный магнитный проводник), чтобы эффективно описать использованную в модели симметрию системы. Области, представляющие собой электроды, должны доходить до самых границ области моделирования, соприкасаясь с границами Magnetic Insulation (Магнитная изоляция), что позволит замкнуть контур с током, обеспечив обратный путь для него. К внешним границам электродов применяются условия Ground (Заземление) и Terminal (Терминал) с опцией Voltage (Напряжение), а условия Electric Insulation (Электрическая изоляция) — к остальным доступным границам.
Кроме того, нам также требуется расчитывать поток жидкости в канале. Предположим, что поток является ламинарным, и, следовательно, будем решать уравнения Навье — Стокса в области канала. В случае турбулентного потока можно выбарать соответствющую модель турбулентности. Условие Open Boundary (Открытая граница) применяется на обоих концах канала, задавая нулевое избыточное давление. Также используется условие Symmetry (Симметрия) в плоскости XY. Расчетная область показана на рисунке ниже.

Иллюстрация расчетной области и граничных условий.
Поток будет обусловлен объемной силой, возникающей в результате взаимодействия электрических токов в жидкости и магнитных полей, которое можно выразить как  . Такое выражение для силы не включено в виде готовой опции в пакет (в интерфейс Magnetic and Electric Fields), так что потребуется немного ручных манипуляций. Чтобы найти встроенные выражения для компонентов плотности тока и магнитного поля, можно активировать режим отображения Equation View и/или сформировать отчет по модели, что описано в одной из статей Базы знаний, посвященной заданию пользовательских мультифизических связей. С помощью этих встроенных выражений можно задать объемную силу, воздействующую на жидкость, как показано на следующем снимке экрана.

Скриншот узла Force с заданным выражением для вычисления компонентов силы.
И наконец, чтобы реализовать обратную связь вычисляемого поля скоростей с электромагнитным расчетом используем уже упомянутое ранее условие Velocity (Lorentz Term) в интерфейсе Magnetic and Electric Fields, как показано на следующем скриншоте. Обратите внимание, что пакет автоматически распознает рассчитываемое поле скорости флюида, которое можно сразу использовать при задании данного условия. Вот и всё! Полная связка двух физических явлений создана.

Скриншот, демонстрирующий использование вычисляемой скорости жидкости при настройке условия в интерфейсе Magnetic and Electric Fields (Магнитные и электрические поля).
Настройка сетки и решателей для МГД-модели
В контексте настройки конфигурации сетки, размера элементов и порядка дискретизации ключевое внимание нужно обратить на вычислительный размер модели. Расчет магнитных и электрических полей в жидкости и окружающих областях в модели — наиболее сложная вычислительная задача, так что предпочтительно свести к минимуму общее количество элементов сетки в ней. Основываясь на универсальной практике решения статических линейных задач, можно предположить, что хорошим стартовым вариантом будет использование элементов второго порядка. Таким образом, мы можем для переменных, связанных с расчетом потока жидкости, перейти на P2+P2 дискретизацию, т.е. при этом и скорость, и давление будут описываться базовыми функциями второго порядка. Для магнитных и электрических полей по умолчанию также выбрана дискретизация второго порядка. При выборе для всех полей дискретизации второго порядка будет также использоваться и второй порядок для дискретизации геометрии. Задача подробного исследования по сеточной сходимости не рассматривается в данной заметке. Мы оставим ее в качестве дополнительного упражнения для заинтересованного читателя.
В процессе решения этой задачи в программном пакете автоматически будет использован так называемый сегрегированный подход: программа поочередно будет рассчитывать электромагнитные поля и поля скоростей в поиске самосогласованного решения, для каждого поля при этом решается линейная подсистема уравнений с собственным оптимизированным итерационным решателем. Данная мультифизическая задача по определению нелинейная, поэтому из общих соображений полезно знать о проблемах, которые могут возникнуть при решении подобных задач, и о способах их устранения, которые описаны в этой статье Базы знаний о повышении сходимости нелинейных стационарных моделей.
Результаты проведенного мультифизического анализа показаны на следующем графике. Отчетливо наблюдается эффект "насоса": из-за приложенного напряжения через жидкость протекает ток, и поскольку заряды движутся в магнитном поле, на них воздействует сила, которая, в свою очередь, сообщается жидкости.

Результаты расчета МГД-модели, демонстрирующие возникновение эффекта "насоса", обусловленного мультифизическими взаимосвязями физических явлений.