Mavzu: Xosmos karrali integrallar reja: kirish

5.Xosmas integrallarni hisoblash
1.Nyuton-Leybnits formulasi. Ushbu

xosmas integral yaqinlashuvchi bo’lib, uni hisoblash talab etilsin.
Aytaylik, funksiya oraliqda boshlang’ich funksiyaga ega va da funksiya chekli limiti mavjud bo’lsin:

Unda
(5)

bo’ladi va (5) formula Nyuton-Leybnits deyiladi.

1-misol. Ushbu,

integral hisoblang.
Bu yerda funksiya oraliqda funksiyaning boshlang’ich funksiyasi bo’ladi .
(5) formuladan foydalanib topamiz:

2.Bo’laklab integrallash. Faraz qilaylik, va funksiyalar oraliqda uzluksiz va uzluksiz, va hosilalarga ega bo’lsin.
Agar
1) integral yaqinlashuvchi;
2) ushbu limit mavjud va chekli bo’lsa , u holda

integral yaqinlashuvchi bo’ladi.
(6)

bo’ladi.
(6) formula bo’laklab integrallash formulasi deyiladi.
Misol. Ushbu

integral hisoblansin.
Agar , deb olsak, unda
,
bo’lib, (6) formulaga ko’ra

bo’ladi.
3.O’zgaruvchilarni almashtirib integrallash.
Ushbu

xosmas integralni qaraymiz. Bu integralda almashtirishni bajaramiz.
Bunda funksiya quyidagi shartlarni qanoatlantirsin:
1) funksiya oraliqda uzluksiz va uzluksiz hosilaga ega;
2) funksiya da qat’iy o’suvchi;
3) , .

Agar

xosmas integral yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda

integral ham yaqinlashuvchi bo’lib,

bo’ladi.
Ixtiyoriy ni olib, umga mos nuqtani topamiz. Ravshanki, yuqoridagi shartlarda da quyidagi formulaga ko’ra

bo’ladi.
Keyingi tenglikda da limitga o’tib topamiz:

bu esa keltirilgan tasdiqni isbotlaydi.
Misol.Ushbu

integral bo’lsin .
Bu integralda almashtirish bajaramiz. Natijada

bo’lib,

bo’lishi kelib chiqadi.
Keyingi integralda deb, topamiz:

Demak,

II-BOB. XOSMAS KARRALI INTEGRALLAR