Мавзу: Математика фанининг тарихи, методи ва метадалогияси

Kvadrat tenglamani Al-Xorazmiy usulida echish 
 
1. 
Xorazmiy  yozadi:  ―Kvadrat  ildizlarga  teng  bo‘lgan  hol,  masalan,  kvadrat  o‘zining 
beshta  ildizlariga  teng  bo‘lsa,  u  vaqtda  bu  kvadratning  ildizi  beshga  teng  bo‘ladi,  uning  kvadrati 
yigirma  beshga  yoki  beshta  ildizga  teng  bo‘ladi‖.  Ya‘ni 
x
x
5
2

dan 
5

x
25
2

x
  birinchi  hol 
uchun berilgan bu qoida yana quyidagi misollar bilan tushuntiriladi: 
x
x
4
3
1
2

,       
x
x
12
2

,      
12

x
,            
)
144
(
2

x
. 
x
x
10
5
2

,        
x
x
2
2

,               
2

x
                    
)
4
(
2

x
  
Bunda noma‘lumning kvadratining kvadratini topish ham alohida ta‘kidlab o‘tiladi. 
2. ―Kvadratlar songa teng, masalan, ―Agar sen aytsangki, kvadrat to‘qqizga teng, u vaqtda 
to‘qqiz  –  kvadrat  va  uning  ildizi  uch  bo‘ladi‖,  deb  yozadi  Xorazmiy.  Ya‘ni 
9
2

x
,   
3

x
.  Bu 
qoida bilan yana shunday misollar echiladi. 
80
5
2

x
,     
16
2

x
,               
4

x
       
18
2
1
2

x
,           
36
2

x
                 
6

x
  
3.  ―Ildizlar  songa  teng‖  tenglamasining  echilgan  quyidagi  misollar  bilan  tushuntiriladi. 
Agar  ildiz  unga  teng  bo‘lsa,  demak,  ildiz  uch  va  uning  kvadrati  to‘qqiz  bo‘ladi.  Ya‘ni.            X=3         
(x
2
=9) 
4x=20,           x=5                (x
2
=25) 
20
2
1

x
       x=20                  (x
2
=400) 
4.  ―Kvadratlar  va  ildizlar  songa  teng‖,  ya‘ni      ax
2
+bx=c  shaklidagi  kvadrat  tenglamani 
masalan, x
2
+10x=39 ni, echish uchun Xorazmiy shunday qoida beradi: ―agar sen aytsangki, kvadrat 
va  uning  o‘nta  ildizlari  39  dirhamga  teng,  u  vaqtda  buning  ma‘nosi  shuki,  agar  biror  kvadratga 
uning  ildizlarining  o‘n  baravari  qo‘shilsa,  o‘tiz  to‘qqiz  hosil  bo‘ladi‖.  Uning  qoidasi  shunday: 
ildizlar sonini ikkiga bo‘l, bu maslada besh bo‘ladi, uni o‘z-o‘ziga ko‘paytir, yigirma besh bo‘ladi. 
Buni o‘ttiz to‘qqizga qo‘shsang, oltmish to‘rt bo‘ladi. Bundan ildiz chiqar, sakkiz bo‘ladi va undan 
ildizlar sonining yarmini, beshni ayir, uch qoladi, mana shu son izlagan kvadratning ildizi bo‘ladi, 
kvadrat esa to‘qqiz bo‘ladi. 
―Agar, - deb yozadi Xorazmiy – kvadrat bitta bo‘lmasdan, ikkita, uchta, va umuman ko‘p 
sonda bo‘lsa, bitta kvadratga keltirish kerak‖. Boshqacha aytganda, noma‘lumning yuqori darajasi 
oldidagi  koifistentni  birga  aylantirish  kerak.  Buning  uchun  tenglamaning  har  ikki  tomonini 

---

 
77 
kvadratning  koifistentiga  bo‘lib,  hosil  bo‘lgan  tenglamani  yuqorida  bayon  etilgan  qoida  bo‘yicha 
echish kerak. Masalan, 2x
2
+10x=48 tenglamani avval x
2
+5x=24 shakliga, 
2
1
x
2
+5x=28 tenglamani 
ham  avval  x
2
+10x=56  shakliga  keltirib,  so‘ngra  yuqorida  bayon  etilgan  qoida  bo‘yicha  echish 
kerak. 
Shundan so‘ng Xorazmiy ax2+bx=c shaklidagi kvadrat tenglamani echish uchun yuqorida 
berilgan qoidani geometrik usul bilan isbotlaydi. 
Kvadrat tenglamalarga keltirilgan masalalar birinchi marta qadimgi Bobilliklar tomonidan 
echilgan. Bunday tenglamalarning sonli echimlarini  aniqlash qoidalari ularga ma‘lum edi. Qadimgi 
yunon  matematiklari  bunday  tenglamalarni  ―geometrik  algebra‖  yordamida  echganlar.  Masalan, 
mashhur  yunon  geometrik  Evklid  (eramizdan  avvalgi  III  asr)    o‘zining  ―Negizlar‖  asarining 
ikkinchi  kitobida  kvadrat  tenglamalarni  kesmalar  va  yuzlar  yordamida  geometrik  usulda  echishni 
ko‘rsatadi.  Xorazmiy  esa  Evklid  foydalangan  shakllardan  emas,  balki  boshqa  shakllardan  
foydalanib, ikkinchi darajali tenglamalarni echishni o‘z geometrik usullari bilan izohlaydi. Masalan, 
x
2
+10x=39  yoki  umumiy  holda  x
2
+bx=c  shaklidagi  tenglamani  echishni  quyidagicha  tushuntiradi. 
(buni xozirgi belgilarga asosan bayon etamiz) 
 
 
1-shaklda ko‘rsatilgandek  
           C 
 
 
 
 
 
         A  
    X
2
 
b 
 
 
4
10
 
x 
4
10
 
 
AB kvadratni olib, uni x
2
 bilan belgilanadi. Bu kvadratning xar bir tomoniga balandligi 
4
10
 
bo‘lgan  to‘g‘ri  to‘rtburchak  yasaladi.  Bu  shaklning  qolgan  burchaklarida  kvadratlar  yasalsa, 
ularning  tomonlari 
4
10
  dan  bo‘lib,  hamma  kvadratlar  yuzlarining  yig‘indisi 
25
)
2
5
(
4
2

  ga  teng 
bo‘ladi. 
Shunday  qilib,  hosil  qilingan  katta  kvadratning  tomoni 
2
10
