Мавзу: Математика фанининг тарихи, методи ва метадалогияси

y
x
11
57

   (4.2) 
Xorazmiy  masalani  echish  qoidasini  (4.1)  tenglamadan  (4.2)  ga  kelguncha  oraliqdagi 
almashtirishlarni so‘z orqali quyidagicha bajaradi: 
1)  ―Hissasiz  uchdan  bir  mulkning  to‘rtdan  biri  to‘rtdan  bir  hissasiz  uchdan  bir  mulkni 
to‘rtdan biridir‖ 














 
y
x
y
x
4
1
3
4
1
3
4
1
. 
2)  ―Hissadan to‘rtdan bir hissani ayirsang to‘rtdan uch hissa 








y
y
y
4
3
4
1
 qoladi‖. 
3)  ―Mulkdan  o‘n  ikkidan  bir  mulkni  ayirsang  o‘n  ikkidan  bir  mulk 








x
x
x
12
11
12
1
 
qoladi. 

---

 
67 
4)  ―To‘rt  hissaga  to‘rtdan  uch  hissani  qo‘shsang  o‘n  ikkidan  o‘n  bir  mulkka  teng 







y
x
4
3
4
12
11
bo‘ladi‖. 
5)  ―Mulkni butunga aylatirsang besh butun o‘n birdan ikki hissaga teng 
y
x
4
3
4
12
11

 dan 
y
y
y
y
x
11
2
5
11
57
4
12
4
19
11
12
4
3
4






 bo‘ladi‖. 
Demak, oxirida 
y
x
11
57

 (4.2) hosil bo‘ladi. Xorazmiy (4.2) aniqmas tenglamaning butun 
echimini topishni nazarda tutib, har bir o‘g‘il hissasini y=11 deb qabul qilib mulkni x=57 va vasiyat 
qilingan  mablag‘ 


13
2
11
19
4
1
11
3
4
1










 

y
x
y
  ekanligini  ko‘rsatadi.  Shu  gruppadagi 
masalalarni  echgandan  so‘ng  masala  shartiga  qo‘shimcha  parametr  d  ni  kiritsh  bilan  ikkinchi 
gruppaga  kiruvchi  to‘rtta  masala  hal  qilinadi.  Shu  to‘rtta  masala  shartlari  avval  sodda,  oxiri  esa 
murakkablashib boradi, oxiri to‘rttinchi masalada agar mulkni  x, qizning hissasini u, dirhamni va 
o‘g‘il 
hissasini 
2y 
bilan 
belgilansa, 
masala 
sharti 
bo‘yicha: 


8
5
1
3
4
1
4
5
1
8
x
d
d
d
y
x
d
y
x
d
d
y
x
d
y
y
x
































    (4.3)  tenglama 
hosil bo‘ladi. 
Birinchi  navbatda,  Xorazmiy  (4.3)  aniqmas  tenglamadagi  noma‘lum  sonni  bitta 
kamaytirib,  tenglamani  soddalashtirishni  tavsiya  qiladi  va  bu  usulni  juda  chiroyli  deb  hisoblaydi. 
Bu usulda u, mulkning to‘rtdan bir bo‘lagi 






x
4
1
 ni olti dirham (6d) ga yoki mulkni yigirma to‘rt 
dirham (x=24d) deb qabul qilib, (4.3) tenglamani soddalashtiradi va  y  ni d orqali belgilaydi, ya‘ni 
d
d
y
172
143
1
172
315


 (4.4) ni topadi. Shu bilan, masalani birinchi gruppaga keltiradi. (4.4) tenglikdan 
d=172 deb qabul qilib, (4.3) tenglamaning butun echimlari y=135  va x=4528 topiladi. 
Butun  topishni  hohlaganlar  uchun  deb  Xorazmiy  ikkinchi  navbatda  (4.3)  tenglamani 
soddalashtirib, 
d
y
x
20
47
5
43
240
181


   (4.5)  ko‘rinishiga keltiradi. Agar (4.5) tenglamada y=362 deb 
olinsa, x=5256 bo‘ladi. 
Har  ikkala  holda  ham  parametr  d  ning  butun  qiymatlarida  (4.3)  tenglamaning  butun 
echimlari  aniqlanadi.  Shu  bilan  parametr  d  ning  turlicha  qiymatlarida  vasiyatning  bir  ko‘rinishiga 
tegishli masalalarni echish formulasi chiqariladi. 
2-masala.  Bahosi  300  dirham  bo‘lgan  qul  kasalligi  uchun  bo‘shatilgan.  Qul  o‘lib  undan 
400 dirham va ikki qiz qoladi. Xo‘jayin 20 dirham qarz, qul esa boshqa bir kishidan 10 dirham qarz 
bo‘lgan.  Qul  o‘z  mulkini  uchdan  bir  qismini  bir  odamga  vasiyat  qilgan.  Qul  qoldirilgan  vasiyat 
(Xorazmiy  qulni  narxi  bilan  uning  bo‘shatish  uchun  to‘langan  pulning  farqini  ―Qul  qoldirilgan 
vasiyat‖ deb ataydi) necha dirham bo‘ladi? 
Xorazmiy tenglama tuzishni quyidagi bosqichlarda bajaradi va uni echadi: 
1)  qulga qoldirgan vasiyatni ―narsa‖ (x) deb qabul qiladi; 
2)  qulni bo‘shatish uchun narsasiz uch yuz (300-x) kerak bo‘ladi; 
3)  qulning qoldirgan 400 dirhamini xisobga olganda, merosxo‘rlarga narsa va yuz dirham  
[400-(300-x)=400-300+x=100+x]  mulk qoladi; 
4)  qulning 10 dirham qarzi to‘lansa, narsa va to‘qson dirham (90+x) mulk qoladi.; 

---

 
68 
5)  vasiyat  bo‘yicha  bir  odam  mulkning  uchdan  bir  qismi  –  uchdan  bir  narsa  va  o‘ttiz 











x
x
3
1
30
90
3
1
 ni oladi; 
6)  merosxo‘rlarga 
uchdan 
ikki 
narsa 
va 
oltmish 


x
x
x
x
3
2
60
)
90
(
3
2
)
90
(
3
1
90







 mulk qoladi.; 
7)  qulning  ikki  qizi,  qolgan  mulkning 
3
2
qismini,  ya‘ni  to‘qqizdan  to‘rt  narsa  va  qirqni, 
ya‘ni 
x
x
x
x
9
4
40
)
3
2
60
(
3
2
)
90
(
9
4
)
90
(
3
2
3
2










 ni oladi; 
8)  xo‘jayinda 
– 
to‘qqizdan 
ikki 
narsa 
va 
yigirma 











x
x
x
x
9
2
20
)
90
(
2
9
)
90
(
9
4
)
90
(
3
2
 qoladi.; 
9)  merosxo‘rlar  xo‘jayini  qo‘liga  –  to‘qqizdan  etti  narsasiz  uch  yuz  yigirma 















x
x
x
x
x
9
7
320
9
2
20
300
)
90
(
9
2
300
 qoladi.; 
10) bundan xo‘jayin 20 lirham qarzini to‘lasa, qolgan mablag‘ to‘qqizdan etti narsasiz uch 
yuz 










x
x
x
9
7
300
20
)
90
(
9
2
300
  qulga  qoldirilgan  vasiyatning  ikki  baravariga 
(Xorazmiy  2-masala  tipidagi  masalalarni  echishda,  oxirgi  qolgan  mablag‘ni,  qulga  qoldirgan 
vasiyatning  ikki  baravariga  tenglaydi)  teng  bo‘ladi,  ya‘ni 
x
x
x
2
20
)
90
(
9
2
300





  yoki 
x
x
2
9
7
300


  (4.6).        (4.6)  ga  al-jabr  operastiyasi  qo‘llanilsa: 
x
x
9
7
2
300


,      tenglamaning 
o‘ng  tomonini  qo‘shib,  noma‘lum  ―x‖  topilsa: 
x
9
7
2
300

  yoki 
x
9
25
300

,  bundan 
108
25
9
300


x
.  Demak, qulga qoldirilgan vasiyat 108 dirham ekan. 
Bu  masalani  sof  arifmetik  usulda  hal  qilish  qiyin  bo‘lganligi  sababli,  ob‘ektiv  ravishda 
algebraik  usulni  qo‘llaydi  va  algebraning  asosiy  bo‘limi  –  tenglamalarni  meros  taqsimlashga 
mohirlik bilan tatbiq qiladi. Garchi Xorazmiydan avval meros taqsim qilish masalasi bilan qadimiy 
Bobil,  Misr  va  yunonlar  shug‘ullangan  bo‘lsalarda,  Xorazmiy  bu  masalani  musulmon  xuquqi 
normalari asosida meros taqsim qilishning  nazariy va amaliy asoslarini birinchi  bo‘lib ko‘rsatadi. 
Shuning  uchun  Xorazmiyning  meros  taqsim  qilish  nazariyasi  va  amaliyotiga  asos  soluvchi  deyish 
mumkin.  xorazmiydan  keyingi  davrlarda  O‘rta  asr  sharq  olimlari  Karxiy,Nasaviy,  Abu  Komil, 
Sirojiddin Sitovandiy, Pusiy, Jamshid koshiy va boshqalar algebrani taraqqiyot ettirish bilan meros 
taqsim  qilish  bo‘limining  ilmiy  va  amaliy  nazariyasini  boyitadilar.  Masalan,  XII  asrda  yashagan 
matematik  va  xuquqshunos  Sirojiddin  Sitovandiyning  algebraga  doir  asarlarida  va  1203  yilda 
alohida yozilgan (―Sirojiddinning vorislik xuquqi‖) (―Al-vosixa as-Sirojiya‖) nomli asarida meros 
taqsim qillishning umumiy ilmiy va amaliy nazariyasi beriladi. Sitovandiydan keyin mutaxassislar 
uning bu asarini Sharq va G‘arb tillariga sharhi bilan tarjima qiladilar va bu asar uzoq vaqt Islom 
mamlakatlarida asosiy qo‘llanma vazifasini bajarib keldi. 
XX  asrgacha  madrasada  matematika  o‘qitishdan    asosiy  maqsad  matematikaning 
amaliyotga  tatbiqi,  chunonchi,  meros  taqsim  qilishning  ilmiy  va  amaliy  nazariyasini  biluvchi 
mutaxassislar  tayyorlashdan  iborat  edi.  Bunday  mutaxassis  ―Faroziyion‖  (―Meros  bo‘luvchi‖ 

---

 
69 
ma‘nosida)  nomi  bilan  atalib,  u  madrasani  bitirgandan  so‘ng  mahalliy  sud  idoralarida  meros 
taqsimlash  masalasi  bilan  shug‘ullanardi.  Yuqorida  aytilganlardan  shunday  xulosaga  kelish 
mumkin: O‘rta asrdan XX asrgacha Islom mamlakatlarida meros taqsimlashning yana bir ilmiy va 
amaliy nazariyasi matematika va uni o‘qitish usulini taraqqiy ettirishning asosiy stimullaridan biri 
bo‘lgan