Лекция №1. Проецирование простых геометрических объектов 4

7.3. Теорема Монжа

Если две поверхности второго порядка описаны около третьей поверхности (или вписаны в нее), то линия их пересечения распадается на две плоские кривые второго порядка (эллипс, окружность, гиперболу, параболу). Причем, плоскости этих кривых проходят через прямую, соединяющую точки пересечения линии касания.
Решение задачи о нахождении линии пересечения конуса и цилиндра, изображенных на рис. 7.4, значительно упрощается, если применить теорему Монжа.

Рис. 7.4. Построение линии пересечения цилиндра и конуса по теореме Монжа

Как видим, обе рассматриваемые поверхности описаны вокруг сферы. Построим решение сначала на П₂. Очевидно, точки 1₂, 2₂, 3₂, 4₂ являются точками пересечения конуса и цилиндра, так как лежат на контурных образующих. Тогда в соответствии с теоремой Монжа решением являются две прямые, проходящие через точки 1₂ и 3₂ и точки 2₂ и 4₂, так как эти прямые представляют собой фронтальные проекции плоскостей, упомянутых в теореме.

В данном случае полученные линии пересечения цилиндра и конуса являются эллипсами, построение которых на П₁ ничем не отличается от построения любой линии, лежащей на поверхности конуса. Выбирая точки на фронтальной проекции каждой из линий 13 и 24, получаем их горизонтальные проекции.
Точки 1, 2, 3, 4 лежат на образующей конуса, параллельной П₂, поэтому их положение на П₁ можно найти по линии связи, проходящей через 1₂, 2₂, 3₂, 4₂. Точки 5 и 6 выбраны на образующей цилиндра, также параллельной П₂, что позволяет по фронтальным проекциям 5₂ и 6₂ найти горизонтальные проекции 5₁ и 6₁ соответственно, которые являются точками перехода видимой части горизонтальной проекции линий пересечения цилиндра и конуса в невидимую.
Точка 7 является точкой касания цилиндра и конуса. Ввиду симметрии относительно фронтальной плоскости уровня решение на П₁ симметрично относительно горизонтальной оси, а на П₂ видимые участки линии пересечения совпадают с невидимыми.