Isbot.
0
n
n
x
im
bo’lsin, u holda istalgan
0
son uchun shunday
0
n
mavjudki
barcha
0
n
n
lar uchun
1
n
x
tengsizlik o’rinli bo’ladi. U holda barcha
0
n
n
uchun
n
x
1
tengsizlik o’rinli bo’ladi, ya’ni
n
n
x
im
1
bo’ladi. Aksincha, agar
n
n
x
im
1
bo’lsa, u holda istalgan
0
uchun shunday
0
n
mavjudki barcha
0
n
n
uchun
1
n
x
tengsizlik o’rinli bo’ladi, u holda barcha
0
n
n
uchun
n
x
1
tengsizlik o’rinli bo’ladi, ya’ni
0
n
n
x
im
bo’ladi.
6-ta’rif.
1
n
n
x
ketma-ketlikning limiti
a
songa teng (yoki
a
soniga yaqinlashadi)
deyiladi, agar
1
n
n
a
x
ketma-ketlik cheksiz kichik ketma-ketlik bo’lsa. Bu xol
a
x
im
n
n
shaklida ifoda etiladi. Demak
a
x
im
n
n
deyiladi, agarda
0
)
(
a
x
im
n
n
tenglik o’rinli bo’lsa. Bunday ketma-ketlik yaqinlashuvchi ketma-ketlik deyiladi.
Ketma-ketlik limiti quyidagi xossalarga ega bo’ladi
a
x
im
n
n
va
b
y
im
n
n
bo’lsin, u holda.
1. Istlagan
va
sonlar uchun
b
a
y
x
im
n
n
n
)
(
tenglik o’rinli bo’ladi. Haqikatdan ham, cheksiz kichik ketma-ketliklar xossalariga
ko’ra, quyidagi o’rinli bo’ladi:
0
)
(
b
y
a
x
im
b
a
y
x
im
n
n
n
n
n
n
2. Yaqinlashuvchi ketma-ketlik chegaralangan ketma- ketlik bo’ladi.
Haqiqatdan ham
a
x
im
n
n
bo’lsin, u holda
0
)
(
a
x
im
n
n
bo’lgani uchun
1
n
n
a
x
-chegaralangan ketma-ketlik bo’ladi, ya’ni shunday
0
К
son
mavjudki barcha n uchun
K
a
x
n
o’rinli bo’ladi, u holda barcha
n
uchun
a
K
a
a
x
a
a
x
x
n
n
n
tengsizlik o’rinli bo’ladi. Demak
1
n
n
x
-chegaralangan ketma-ketlik ekan.
3.
b
a
x
y
im
n
n
n
bo’ladi. Haqiqatdan ham, cheksiz kichik ketma-
ketliklarning
xossalariga
ko’ra,
quyidagi
o’rinli
bo’ladi
0
0
0
a
b
b
y
a
im
y
a
x
im
b
y
a
y
a
x
im
ab
y
x
im
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
.
4.
0
,
b
b
y
im
n
n
va barcha
n
larda
0
n
y
bo’lsa, u holda
b
a
y
x
im
n
n
n
tenglik o’rinli bo’ladi. Haqiqatdan ham cheksiz kichik ketma-ketliklar xossalariga
ko’ra, quyidagi o’rinli bo’ladi.
b
y
im
n
n
, aniqlik uchun
o
b
bo’lsin, u holda
2
b
uchun shunday
0
n
mavjudki barcha
0
n
n
uchun
2
b
b
y
n
o’rinli bo’ladi. U holda
0
2
2
2
b
y
b
b
y
b
n
n
va
b
y
n
2
1
0
, ya’ni
0
,
1
n
n
y
n
uchun chegaralangan ekan. U holda, (
0
n
n
deb
qarash mumkin)
0
1
1
b
y
b
y
a
b
y
a
x
b
im
b
y
b
y
a
b
a
x
im
b
y
a
y
b
x
im
b
a
y
x
im
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
ekanligi kelib chiqadi.
5. Agar
a
x
im
n
n
,
b
y
im
n
n
bo’lib, biron nomerdan boshlab
n
n
y
x
tengsizliklar o’rinli bo’lsa, u holda
b
a
tengsizlik o’rinli bo’ladi. Haqiqatdan
ham, agar aksi bo’lganda edi ya’ni
b
a
bo’lsa, u holda
0
sonni shunday
tanlab olish mumkinki
b
a
(masalan
2
a
b
), tengsizlik o’rinli
bo’ladi, u holda shunday
0
n
natural son mavjudki barcha
0
n
n
lar uchun
b
y
ва
x
a
n
n
tengsizliklar o’rinli bo’ladi, u holda
0
n
n
uchun
n
n
y
x
bo’ladi. Bu esa qarama-qarshilikdir.
4-teorema. Agar
1
n
n
x
-o’suvchi (kamayuvchi) ketma-ketlik bo’lib
yuqoridan (quyidan) chegaralangan bo’lsa, u holda bu ketma-ketlik yaqinlashuvchi
bo’lib
n
n
n
n
x
x
im
sup
n
n
n
n
x
x
im
inf
bo’ladi.
Isbot. Тeorema shartiga ko’ra
a
x
n
sup
-chekli son bo’ladi, u holda
1
n
n
a
x
ketma-ketlik o’suvchi bo’lib
0
sup
a
x
n
bo’ladi. U holda 2-
teoremaga ko’ra
0
)
(
a
x
im
n
n
bo’ladi, demak
a
x
im
n
n
ekan.
5-teorema. Agar barcha natural
n
uchun
n
n
n
y
z
x
bo’lib,
a
y
im
x
im
n
n
n
n
bo’lsa, u holda
a
z
n
n
im
bo’ladi
Isbot.
a
y
a
z
a
x
n
n
n
tengsizlik barcha natural
n
uchun o’rinli
bo’ladi, u holda 7-xossaga ko’ra
0
)
(
a
z
n
n
im
ekanligi kelib chiqadi, demak
a
z
n
n
im
ekan.
6-teorema. (Ichma-ich joylashgan segmentlar haqidagi teorema).
Agar har bir natural
n
uchun
n
n
n
n
b
a
b
a
,
segment berilgan bo’lib,
barcha
n
larda
1
1
,
,
n
n
n
n
b
a
b
a
munosabat o’rinli va
0
)
(
n
n
n
a
b
im
bo’lsa, u holda
n
n
n
n
b
ва
a
im
im
limitlar mavjud bo’lib
c
b
a
n
n
n
n
im
im
,
istalgan natural
n
uchun
n
n
b
c
a
tengsizlik o’rinli bo’ladi.
Isbot. Тeorema shartiga ko’ra
1
n
n
a
ketma-ketlik o’suvchi bo’lib
yuqoridan (masalan
1
b
bilan) chegaralangan,
1
n
n
b
ketma-ketlik esa kamayuvchi
bo’lib
quyidan
(masalan
1
a
bilan)
chegaralangan
bo’ladi,
u
holda
b
b
ва
a
a
n
n
n
n
inf
sup
desak, 4-teoremaga asosan
b
b
a
a
n
n
n
n
im
im
,
,
bo’ladi. Barcha
n
larda
n
n
b
b
a
a
bo’lgani uchun, barcha
n
larda
n
n
a
b
a
b
o
tengsizlik o’rinli bo’ladi.
0
)
(
n
n
n
a
b
im
bo’lgani uchun 5-teoremaga ko’ra
a
b
a
b
,
0
ekanligi ya’ni
n
n
n
n
b
a
im
im
tenglik o’rinli ekan. Тeorema isbot bo’ldi.
20.3. «e» soni.
4-teoremaning tadbig’i sifatida, quyidagi limitni ko’rsatamiz
е
n
n
n
im
1
1
Agar
n
n
n
x
1
1
ketma-ketlikni kiritsak, uni o’suvchi va yuqoridan
chegaralangan ekanligini ko’rsatamiz. Buning uchun biz qo’yidagi tengsizlikdan
foydalanamiz, agar
1
x
bo’lsa, u holda
nx
x
n
1
1
va istalgan
b
a,
va natural
n
uchun
n
k
k
k
n
k
n
n
b
a
C
b
a
0
bu yerda
n
n
k
n
k
n
C
k
n
2
1
!
,
)!
(
!
!
, ekanligini eslatib o’tamiz.
1
1
1
3
3
1
2
3
3
1
1
2
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
3
2
3
3
2
3
3
2
2
2
2
2
2
1
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
x
x
n
n
n
n
n
n
n
Demak
n
n
x
x
1
1
, ya’ni
1
n
n
x
x
ekan, ya’ni
1
n
n
x
ketma-ketlik o’suvchi
ketma-ketlik ekan. Endi uni yuqoridan chegaralangan ekanligini ko’rsatamiz.
quyidagi tengsizlikka ko’ra
!
1
1
1
2
1
1
1
!
1
1
)
2
(
)
1
(
!
1
1
!
!
!
1
k
n
n
k
n
k
k
n
n
n
k
n
k
n
k
n
k
n
k
n
n
C
k
k
k
k
n
n
k
n
k
n
k
n
k
k
k
n
n
k
k
k
n
C
n
0
0
2
2
!
1
2
!
1
1
1
!
1
1
1
1
Endi
2
k
bo’lganda, ushbu tengsizlikdan
1
2
1
3
2
1
1
!
1
k
k
k
quyidagini
hosil qilamiz
n
k
n
n
n
k
n
n
2
1
1
1
2
1
3
2
1
1
2
2
1
1
2
1
1
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2
2
1
2
1
1
Demak istalgan natural
n
uchun
3
1
1
n
n
tengsizlik o’rinli bo’lar ekan. U
holda 4-teoremaga ko’ra quyidagi limit mavjud va chekli bo’ladi, uning qiymatini
orqali belgilanadi
n
n
n
im
1
1
soni irratsional son bo’lib, u matematika va uning tadbiqlarida katta
ahamiyat kasb etadi.
sonining o’nli kasr ko’rinishidagi dastlabki o’n xonali
yoyilmasi quyidagicha bo’ladi:
7182818284
,
2
Endi quyidagi limitni istalgan
o
a
uchun ko’rsataylik
1
1
n
n
n
n
a
a
im
im
Dastavval,
1
a
deb qaraylik, u holda
1
1
n
a
bo’lib,
nx
x
n
1
1
tengsizlikda
n
a
x
x
1
1
1
deb olsak quyidagini hosil qilamiz
n
a
a
o
a
a
n
n
n
1
1
1
1
1
1
bu yerdan
n
da limitga o’tsak
0
1
1
n
n
a
im
ekanligi kelib chiqadi, ya’ni
1
1
n
n
a
im
ekan. Agar
1
a
o
bo’lsa, u holda
1
1
a
bo’lgani uchun
1
1
1
1
1
n
n
n
n
a
a
im
im
ekanligi kelib chiqadi. Demak istalgan
0
a
uchun
1
1
n
n
a
im
tenglik o’rinli bo’lar ekan.
Keyingi misol sifatida istalagn
)
0
(
0
a
a
son uchun
0
1
1
n
og
a
n
im
ekanligini ko’rsataylik. Dastavval
1
a
deb qaraylik, u holda
x
og
a
funksiya o’suvchi
bo’lgani uchun, agar biz
n
og
t
a
n
1
1
deb
1
n
n
t
ketma–ketlikni hosil qilsak, bu
ketma-ketlik kamayuvchi bo’lib, ya’ni
1
2
1
n
n
t
t
t
t
, istalgan
n
uchun
0
n
t
bo’lganidan, uning chekli limiti mavjud bo’lib, 4-teoremaga ko’ra
n
n
n
n
t
t
im
inf
ekanligi kelib chiqadi.
0
ekanligini ko’rsatamiz, haqiqatdan ham, agar
0
deb farz
qilsak,
0
1
a
bo’lgani uchun,
1
1
a
n
deb olsak, u holda shunday
n
larda
a
og
n
og
t
a
a
n
1
1
ekanligi kelib chiqadi, bu esa
n
n
t
inf
ekanligiga qarama-qarshidir. Demak
0
ekan,
u holda
0
1
1
n
og
a
n
im
tenglik o’rinli bo’ladi. Agar
1
a
o
bo’lsa,
1
1
a
bo’lgani uchun
0
1
1
1
1
1
n
og
n
og
a
n
a
n
im
im
ekanligi kelib chiqadi. Хuddi shuningdek
0
1
1
n
og
a
n
im
ekanligi ko’rsatiladi.
Do'stlaringiz bilan baham: |