Ikki karrali integrallar va ularning xossalari

(2) tengsizlikni barcha qismlarini P ga bo’lsak:

va

deb belgilasak, u holda (2) tengsizlikni boshqacha yozilishini olamiz

bu o’rta qiymat haqidagi teoremani ifodalaydi.

Endi xususan, faraz qilamiz, funksiya (P) da uzluksiz, va va sifatida uning (P) sohadagi eng kichik va eng katta qiymatlarini olamiz – Veyershtrass teoremasiga ko’ra [1,1-to’m,136-p.] ular mavjud. U holda ma’lum Boltsano’-Koshi teoremasiga ko’ra [1,1-to’m,134-p.] va qiymatlarni qabul qiluvchi funksiya, har bir oraliq qiymat orqali o’tishi kerak. Shunday qilib, barcha holda (P) sohada shunday nuqta topiladiki, bo’ladi, va (3) formula

(4)

ko’rinishni oladi.

III. Ikki karrali integralni hisoblash.

1.To’g’ri to’rtburchakli sohada ikki karrali integralni takroriy integralga keltirish. Integrallash sohasi to’g’ri to’rtburchak sohadan iborat bo’lsin.

T e o r e m a. Agar sohada aniqlangan funksiya uchun ushbu

(1)

ikki karrali integral mavjud va x ning dagi har bir o’zgarmas qiymatida