I-bo’lim (bob). Xususiy hosilali diferensial tenglamalar

15-16-ma’ruza. Aralash masalalar.Tor tebranish tenglamasi uchun asosiy aralash masalani Furye usuli bilan yechish. Xos sonlar va xos funksiyalar. Masala yechimining yagonaligi
Reja

1. 
   Tor tebranish tenlamasi uchun 1 – chegaraviy masalani Fur’ye usulida yechish.
   
2. 
   Shturm – Liuvill masalasi. Xos son va xos funksiya .
   
3. 
   1 - chegaraviy masala yechimining ko’rinishi.
   
4. 
   Xos son va xos funksiya .
   
5. 
   1 - chegaraviy masala yechimining ko’rinishi.
   

Tayanch so’z va iboralar.

1. 
   Tor tebranish tenlamasi uchun 1 – chegaraviy masala.
   
2. 
   Shturm-Liuvill masalasi.
   
3. 
   Shturm-Liuvill masalasining yechimi.
   
4. 
   Xos son va xos funksiya .
   
5. 
   Tor tebranish tenglamasi uchun 1- chegaraviy masalaning yechimi .
   

Ushbu tenglamaning
 (1)
U(0,t)=0, U(1,t)=0 (2)
chegaraviy shartni va
U(x,0)=φ(x),  (x,0)=ψ(x), (3)
boshlang’ich shartini qanoatlantiruvchi yechimi toping.
(1)tenglama chiziqli va bir jinsli bo’lgani uchun xususiy yechimlarining yig’indisi yana shu
tenglamaning yechimi bo’ladi.
Yordamchi masala : Quyidagi
 (1)
tenglamaning U(0,t)=0, U(1,t)=0 (2)
bir jinsli chegaraviy shartni qanoatlantiruvchi noldan farqli yechimini toping:
U( )=X (x)T (t), (4)
bu yerda X(x) faqat x ga bog’liq fuksiya, T (t ) faqat t - ga bog’liq funksiya.
(4) ko’rinishdagi yechimni (1) tenglamaga qo’ysak,
X’’T=1/ T’’X (5)
Bu tegnlikni xar ikki tomonini XT ga bo’lsak,
X’’(x)/X (x)=T’’(t)/ T(t) (6)
(4) funksiya (1) tehglamani echimi bo’lishi uchun, (5)va (6) tengliklar aynan bajarilishikerak,yani x,t o’zgaruvchilarini barcha 0 qiymatlari uchun (6)tenglikni o’ng tomoni gaqat t o’zgaruvchiga, chap tomoni esa faqat x ni biror qiymatini fiksrlab va t ni o’zgartiruvchiga, chap tomoni esa faqat x o’zgaruvchiga bog’liq funksiyalardir. Masalan, x ni bibor qiymatini fiksrlab va t ni o’zgartirsak
(va aksincha ), (6) tenglikni o’ng va chap tomonlar o’zlarining argumentlari o’zgarganda o’zgarmas qiymatga teng bolida:
X’’(x)/X(x)=T’’(t)/ T(t)=-λ, (7)
Bu erda λ- o’zgarmas bo’lib, qulaylik uchun minus ishora bilan olamiz.
(7) munosabatdan:
X’’(x)+λX(x)=0 (8)
 (9)
(2)-chegaraviy shartlarga ko’ra

Bu yerdan X(0)=X(l)=0 (10)
kelib chiqadi. Aks holda, agar T(t)=0 bo’lsa, u holda U(x,t)=0 bo’lar edi. T(t)- funksiya uchun asosiy yordamchi masalada xech qanday qo’shimcha shartlar yo’q.
Shunday qilib, X(x) funksiya uchun quyidagi xos qiymatlar haqidagi masalani hosil qilamiz.