|
TESKARI MATRITSANI TOPISH USULLARI
Agar matritsa teskari bo'lsa, u holda matritsaning teskarisini topish uchun quyidagi usullardan birini qo'llashingiz mumkin:
ANIQ (TO'G'RIDAN-TO'G'RI) USULLAR GAUSS-JORDAN USULI
Keling, ikkita matritsani olaylik: o'zi A va bitta E... Keling, matritsa beramiz A satrlar bo'yicha transformatsiyalarni qo'llagan holda Gauss-Jordan usuli bo'yicha identifikatsiya matritsasiga (siz o'zgartirishni ustunlar bo'yicha ham qo'llashingiz mumkin, lekin aralashmaslik kerak). Har bir operatsiyani birinchi matritsaga qo'llaganingizdan so'ng, xuddi shu amalni ikkinchisiga qo'llang. Birinchi matritsani birlik shakliga qisqartirish tugagandan so'ng, ikkinchi matritsa teng bo'ladi A −1.
Gauss usulidan foydalanganda birinchi matritsa chapdan elementar matritsalardan biriga ko'paytiriladi Λ i (\\ displaystyle \\ Lambda _ (i)) (bitta pozitsiyadan tashqari, asosiy diagonalda joylashgan transvektsiya yoki diagonal matritsa):
Λ 1 ⋅ ⋯ ⋅ Λ n ⋅ A \u003d Λ A \u003d E ⇒ Λ \u003d A - 1 (\\ displaystyle \\ Lambda _ (1) \\ cdot \\ dots \\ cdot \\ Lambda _ (n) \\ cdot A \u003d \\ Lambda A \u003d E \\ Rightarrow \\ Lambda \u003d A ^ (- 1)). Λ m \u003d [1… 0 - a 1 m / amm 0… 0… 0… 1 - am - 1 m / amm 0… 0 0… 0 1 / amm 0… 0 0… 0 - am + 1 m / amm 1 … 0… 0… 0 - anm / amm 0… 1] (\\ displaystyle \\ Lambda _ (m) \u003d (\\ begin (bmatrix) 1 & \\ dots & 0 & -a_ (1m) / a_ (mm) & 0 & \\ dots & 0 \\\\ m + 1m) / a_ (mm) & 1 & \\ dots & 0 \\\\ &&& \\ dots &&& \\\\ 0 & \\ dots & 0 & -a_ (nm) / a_ (mm) & 0 & \\ dots & 1 \\ end (bmatrix)))).
Barcha amallarni qo'llaganidan keyin ikkinchi matritsa teng bo'ladi Λ (\\ displaystyle \\ Lambda), ya'ni kerakli narsa bo'ladi. Algoritmning murakkabligi - O (n 3) (\\ displaystyle O (n ^ (3))).
ALGEBRAIK QO'SHIMCHALAR MATRITSASIDAN FOYDALANISH
Matritsaga matritsaga teskari A (\\ displaystyle A), sifatida ifodalanishi mumkin
A - 1 \u003d adj (A) det (A) (\\ displaystyle (A) ^ (- 1) \u003d (((\\ mbox (adj)) (A)) \\ over (\\ det (A))))
qaerda adj (A) (\\ displaystyle (\\ mbox (adj)) (A)) - biriktirilgan matritsa;
Algoritmning murakkabligi O det determinantini hisoblash algoritmining murakkabligiga bog'liq va O (n²) · O det ga teng.
LU / LUP DEKOMPOZITSIYASIDAN FOYDALANISH
Matritsa tenglamasi A X \u003d I n (\\ displaystyle AX \u003d I_ (n)) teskari matritsa uchun X (\\ displaystyle X) to'plam sifatida ko'rish mumkin n (\\ displaystyle n) shakl tizimlari A x \u003d b (\\ displaystyle Ax \u003d b)... Biz belgilaymiz men (\\ displaystyle i)matritsaning ustuni X (\\ displaystyle X) bo'ylab X i (\\ displaystyle X_ (i)); keyin A X i \u003d e i (\\ displaystyle AX_ (i) \u003d e_ (i)), i \u003d 1,…, n (\\ displaystyle i \u003d 1, \\ ldots, n) , chunki men (\\ displaystyle i)matritsaning ustuni Men n (\\ displaystyle I_ (n)) birlik vektori e i (\\ displaystyle e_ (i))... boshqacha qilib aytganda, teskari matritsani topish bitta matritsa va har xil o'ng tomonlari bo'lgan n tenglamalarni echishga kamayadi. LUP-dekompozitsiyasini (O (n³) vaqt) bajargandan so'ng, har bir n tenglamani echish O (n²) vaqtni oladi, shuning uchun ishning bu qismi O (n³) vaqtni oladi.
Agar A matritsasi noaniq bo'lsa, u uchun LUP dekompozitsiyasini hisoblash mumkin P A \u003d L U (\\ displaystyle PA \u003d LU)... Ruxsat bering P A \u003d B (\\ displaystyle PA \u003d B), B - 1 \u003d D (\\ displaystyle B ^ (- 1) \u003d D)... Keyin teskari matritsaning xususiyatlaridan quyidagilarni yozishimiz mumkin: D \u003d U - 1 L - 1 (\\ displaystyle D \u003d U ^ (- 1) L ^ (- 1))... Agar biz bu tenglikni U va L ga ko'paytirsak, u holda shaklning ikkita tengligini olishimiz mumkin U D \u003d L - 1 (\\ displaystyle UD \u003d L ^ (- 1)) va D L \u003d U - 1 (\\ displaystyle DL \u003d U ^ (- 1))... Ushbu tengliklardan birinchisi uchun n² tenglama tizimi mavjud n (n + 1) 2 (\\ displaystyle (\\ frac (n (n + 1)) (2))) ulardan o'ng tomonlari ma'lum (uchburchak matritsalarning xususiyatlaridan). Ikkinchisi, shuningdek uchun n² tenglama tizimini ifodalaydi n (n - 1) 2 (\\ displaystyle (\\ frac (n (n-1)) (2))) ulardan o'ng tomonlari ma'lum (shuningdek, uchburchak matritsalarning xususiyatlaridan). Ular birgalikda n² tenglik tizimini tashkil qiladi. Ushbu tengliklardan foydalanib, biz D. matritsasining barcha n² elementlarini rekursiv ravishda aniqlay olamiz. Keyin tenglikdan (PA) -1 \u003d A -1 P −1 \u003d B -1 \u003d D. tenglikni olamiz A - 1 \u003d D P (\\ displaystyle A ^ (- 1) \u003d DP).
LU-dekompozitsiyasidan foydalanilgan holda, D matritsasi ustunlarining almashinuvi talab qilinmaydi, ammo A matritsa noaniq bo'lsa ham, yechim ajralib chiqishi mumkin.
Algoritmning murakkabligi O (n³).
TAKRORLASH USULLARI SHULTZ USULLARI
(Ψ k \u003d E - AU k, U k + 1 \u003d U k ∑ i \u003d 0 n Ψ ki (\\ displaystyle (\\ begin (case)) \\ Psi _ (k) \u003d E-AU_ (k), \\\\ U_ ( k + 1) \u003d U_ (k) \\ sum _ (i \u003d 0) ^ (n) \\ Psi _ (k) ^ (i) \\ end (case)))
XATOLARNI TAXMIN QILISH DASTLABKI TAXMINNI TANLASH
Bu erda ko'rib chiqilgan takrorlanadigan matritsali inversiya jarayonlarida dastlabki taxminiylikni tanlash muammosi ularni, masalan, matritsalarning LU-parchalanishiga asoslangan to'g'ridan-to'g'ri inversiya usullari bilan raqobatlashadigan mustaqil universal usullar sifatida ko'rib chiqishga imkon bermaydi. Tanlash uchun ba'zi tavsiyalar mavjud U 0 (\\ displaystyle U_ (0))shartning bajarilishini ta'minlash ρ (Ψ 0) < 1 {\displaystyle \rho (\Psi _{0})<1} (matritsaning spektral radiusi bitta), bu jarayonning yaqinlashishi uchun zarur va etarli. Ammo, bu holda, birinchi navbatda teskari matritsa A yoki matritsa spektrining yuqori chegarasini bilish talab qilinadi A A T (\\ displaystyle AA ^ (T)) (ya'ni, agar A nosimmetrik musbat aniq matritsa bo'lsa va r (A) ≤ β (\\ displaystyle \\ rho (A) \\ leq \\ beta), keyin siz olishingiz mumkin U 0 \u003d a E (\\ displaystyle U_ (0) \u003d (\\ alfa) E)qaerda; agar A o'zboshimchalik bilan noaniq matritsa va r (A A T) ≤ β (\\ displaystyle \\ rho (AA ^ (T)) \\ leq \\ beta)keyin ishoniladi U 0 \u003d a A T (\\ displaystyle U_ (0) \u003d (\\ alfa) A ^ (T))qaerda a ∈ (0, 2 β) (\\ displaystyle \\ alfa \\ in \\ chap (0, (\\ frac (2) (\\ beta)) \\ right)); siz, albatta, vaziyatni soddalashtirishingiz va bundan foydalanishingiz mumkin r (A A T) ≤ k A A T k (\\ displaystyle \\ rho (AA ^ (T)) \\ leq (\\ mathcal (k)) AA ^ (T) (\\ mathcal (k))), qo'ydi U 0 \u003d A T ‖ A A T ‖ (\\ displaystyle U_ (0) \u003d (\\ frac (A ^ (T)) (\\ | AA ^ (T) \\ |)))). Ikkinchidan, dastlabki matritsaning bunday ta'rifi bilan bunga kafolat yo'q ‖ Ψ 0 ‖ (\\ displaystyle \\ | \\ Psi _ (0) \\ |) kichik bo'ladi (hatto bo'lishi mumkin) ‖ Ψ 0 ‖\u003e 1 (\\ displaystyle \\ | \\ Psi _ (0) \\ |\u003e 1)) va yaqinlashuv darajasining yuqori tartibi darhol aniqlanmaydi.
MISOLLARI MATRITSA 2X2
Ifodani ajratib bo'lmadi (sintaksis xatosi): (\\ displaystyle \\ mathbf (A) ^ (- 1) \u003d \\ begin (bmatrix) a & b \\\\ c & d \\\\ \\ end (bmatrix) ^ (- 1) \u003d \\ frac (1) (\\ det (\\ mathbf (A))) \\ begin & \\! \\! - b \\\\ -c & \\, a \\\\ \\ end (bmatrix) \u003d \\ frac (1) (ad - bc) \\ begin (bmatrix) \\, \\, \\, d & \\! \\! - b \\\\ -c & \\, a \\\\ \\ end (bmatrix).)
2x2 matritsaning teskari holati faqatgina agar mumkin bo'lsa a d - b c \u003d det A ≠ 0 (\\ displaystyle ad-bc \u003d \\ det A \\ neq 0).
Odatda teskari operatsiyalar murakkab algebraik ifodalarni soddalashtirish uchun ishlatiladi. Masalan, agar muammo kasrga bo'linish ishini o'z ichiga olsa, uni teskari qismga ko'paytirish bilan almashtirish mumkin, bu teskari amal. Bundan tashqari, matritsalarni ajratish mumkin emas, shuning uchun teskari matritsa bilan ko'paytirish kerak. 3x3 matritsaning teskari tomonini hisoblash zerikarli, ammo siz buni qo'lda bajarishingiz kerak. O'zaro aloqani yaxshi grafikli kalkulyator yordamida ham topishingiz mumkin.
QADAMLAR QO'SHILGAN MATRITSA BILAN
Do'stlaringiz bilan baham: |
