Guruh talabasi Akramova Ozodaxonning Differsensial tenglamalar fanidan

Bir jinsli va bir jinsli bo’lmagan chiziqli tenglamalar.

Ushbu

(1)

Tenglamani o’rganamiz. (1) tenglama birinchi tartibli xususiy hosilali bir jinsli chiziqli tenglama deyiladi. (1) tenglamaning koeffitsientlari berilgan nuqtaning biror atrofida aniqlangan, o’zlarining birinchi tartibli hosilalari bilan uzluksiz hamda bir vaqtda nolga aylanmaydi, deb faraz qilamiz. Masalan, aniqlik uchun deb hisoblashiz mumkin.

(1) Tenglama bilan bir qatorda ushbu

(2)

Simmetrik shakldagi oddiy differensial tenglamalar sistemasini tekshiramiz. Bu sistema birinchi tartibli xususiy hosilali chiziqli bir jinsli tenglamaga mos simmetrik ko’rinishdagi oddiy differensial tenglamalar sistemasi deyiladi.

koeffitsientlarga nisbatan yuqorida qo’yilgan shartlarga asosan (2) sistema (n-1)ta bog’liqsiz birinchi integrallarga ega:

(3)

Buning to’g’riligi (2) sistemaning ushbu (n-1) ta

(4)

Tenglamalarning normal sistemasiga teng kuchliligidan kelib chiqadi. Birinchi integrallarning (3) sistemasi o’zgaruvchilarning fazosida (n-1) ta parametrli chiziqlar oilasini aniqlaydi. Bu chiziqlar (1) tenglamaning xarakteristikalari deyiladi.

(2) Sistema ixtiyoriy ( )=C birinchi integralining chap qismi xususiy hosilali (1) tenglamaning yechimidan iborat bo’ladi. Bundan tashqari, (1) tenglamani qanoatlantiradigan ixtiyoriy funksiyani o’zgarmas songa tenglashtirilsa, (2) sistemaning birinchi integrali hosil bo’ladi.

Aytaylik, (2) sistemaning chiziqli bog’liqsiz integrallari

(5)

ko’rinishida topilgan bo’lsin. U holda

(6)

funksiya ( shu jumladan =const ham) (1) tenglamaning yechimi bo’ladi, bu yerda -ixtiyoriy funksiya bo’lib, bo’yicha uzluksiz hosilalarga ega. (6) ifoda (4) tenglamaning umumiy yechimi deyiladi.

Ma’lumki, oddiy differensial tenglamalarning umumiy yechimida ixtiyoriy o’zgarmaslar qatnashadi. Xususiy hosilali (1) tenglamaning (6) umumiy umumiy yechimi esa ixtiyoriy o’zgarmaslarni emas, balki ixtiyoriy funksiyalarni o’z ichiga olganligiga e’tibor berish kerak.

Shunday qilib, (1) tenglamaning umumiy yechimini topish masalasi (1) tenglamaga mos simmetrik shakldagi (2) oddiy differensial tenglamalar sistemasining (n-1)ta bog’liqsiz integrallarini topish masalasiga teng kuchli ekan.

Ikkita erkli o’zgaruvchili holni qaraylik. Bu holda, noma’lum funksiyani z, erkli o’zgaruvchilarni x va y bilan belgilab, (1) tenglamaning o’rniga

(7)

tenglamaga ega bo’lamiz. Oddiy differensial tenglamalarning simmetrik shakldagi (2) sistemasi bu holda bitta

(8)

differensial tenglamaga aylanadi. Agar (x,y) funksiya shu tenglamaning integrali bo’lsa u holda

(9)

funksiya (bunda funksiya ning ixtiyoriy uzluksiz differensiallanuvchi funksiyasi) (7) tenglamaning umumiy yechimi bo’ladi.

Agar x,y, va z uch o’lchovli fazodagi nuqtaning to’g’ri burchakli koordinatalari sifatida qaralsa, u holda (7) tenglamaning yechimiga biror sirt mos keladi. Bu sirt (7) tenglamaning integral sirti deyiladi.

(1)Chiziqli bir jinsli tenglama uchun Koshi masalasi quyidagicha qo’yiladi. (1) tenglamaning hamma yechimlari ichidan

(10)

Boshlang’ich shartni qanoatlantiradigan

(11)

Yechimini topish kerak, bu yerda f-berilgan uzluksiz differensiallanuvchi funksiya.

Izlanayotgan funksiya ikki o’zgaruvchili bo’lgan holda, ya’ni (7) tenglama uchun Koshi masalasi da

(12)

boshlang’ich shartni qanoatlantiradigan

(13)

Yechimni topishdan iboratdir, bu yerda -berilgan funksiya. Geometrik nuqtai nazardan bu shuni anglatadiki, (7) tenglamadan topiladigan barcha integral sirtlar ichidan yOz tekislikka parallel bo’lgan tekislikda yotuvchi (12) egri chiziq orqali o’tuvchi (13) integral sirtni toppish kerak.