Egamqulov

8-misol. Differensial tenglamani yeching.

Yechish. Bu misolda Berilgan differensial tenglamaning ikkala qismini ga bo`lsak: Endi almashtirish olib, ekanligini topamiz.Bu topilgan qiymatlarni e`tiborga olib chiziqli tenglama hosil qilamiz.Bu tenglamaning yechimi
Bundan berilgan Bernulli tenglamaning umumiy yechimi ni topamiz.


4. To`la differensial tenglama


Ta’rif. Agar M(x;y)dx+N(x;y)dy=0 (3.1) tenglama uchun (3.2) shart bajarilsa, uni to`liq differensial tenglama deb ataymiz.
Agar (3.2) shart bajarilsa, (3.1) ning chap tomoni qandaydir U(x;y) funksiyaning dU(x;y) to`liq differensialidan iborat bo`ladi, ya’ni (3.1) tenglama dU(x;y)=0 ko`rinishni oladi. Buni integrallab, uning umumiy yechimi U(x;y)=C ni topamiz.
Agar (3.1) ning chap tomoni U(x;y) funksiyaning to`liq differensiali bo`lsa, u holda , bo`lishi kerak. Birinchi tenglamadan ni topamiz. ni topish uchun oxirgi tenglamani y bo`yicha differensiallaymiz: (3.2) shartni inobatga olsak, u holda , Bundan yoki Demak, U(x;y) funksiya quyidagi ko`rinishda bo`lar ekan:
9-misol. differensial tenglamaning umumiy yechimini toping.


Yechish. ,
, . Demak, (3.2) shart bajarilyapti,shuning uchun bu to`liq differensial tenglamadir.
1-usul. ; (A); 3(B).
(A) va (B) tengliklardan : deb,(*) va (**) tengliklardan: .
2-usul. Umumiy yechimi U(x;y)=C ni topish uchun quyidagi formuladan foydalanamiz : ; Bunda .
yoki .
5. Integrallovchi ko`paytuvchi

(3.1) tenglamaning chap tomoni biror funksiyaning to`la differensiali ya`ni (3.2) shart bajarilmasin. Biroq bu tenglamani tegishli funksiyaga ko`paytirish bilan uni to`liq differensiallardagi tenglamaga keltirish mumkin. Bunday funksiya berilgan differensial tenglama uchun integrallovchi ko`paytuvchi nomi bilan yuritiladi. Har qanday differensial tenglama uchun ham integrallovchi ko`paytuvchi mavjud, biroq bu uni topish oson degan so`z emas.

Ushbu tenglama to`liq differensial tenglama bo`lishi uchun yoki (1.1) shart bajarilishi kerak. (1.1) tenglik (3.1) tenglamaning integrallovchi ko`paytuvchilarining differensial tenglamasidir, chunki uning har bir yechimi tenglamaning ikkala tomoniga ko’paytirilganidan so’ng uni to’liq differensiallardagi tenglamaga keltiriladi. ni topish uchun xususiy hosilali differensial tenglamani integrallash kerak. Agar faqat birgina x yoki y o’zgaruvchiga bog’liq bo’lsa, masala ancha soddalashadi. Biz faqat ana shu ikki xususiy holni qaraymiz.
Masalan, tenglamaning integrallovchi ko’paytuvchisi faqat x ga bog’liq bo’lsin, ya’ni bo’lsin. U holda (7.1) tenglama ushbu ko’rinishni egallaydi: yoki bu yerdan , ya’ni (ixtiyori y C o’zgarmas nolga teng deb olingan, chunki qandaydir bitta integrallovchi ko’paytuvchiga ega bo’lsak kifoya ).
Shunga o’xshash faqat y ga bo’g’liq bo’lsa integrallovchi ko’paytuvchi bu yerda C=0.