Департамент образования города Москвы

Абсолютная и условная сходимость числовых рядов

Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд составленный из его модулей . Последний ряд символически записывается так:
Если же ряд сходится, а ряд расходится, то ряд называется условно сходящимся.
Теорема 9. Из абсолютной сходимости ряда следует его сходимость.

Переместительное свойство абсолютно сходящихся рядов

Пусть дан ряд , имеющий сумму . Переставив в нем члены произвольным образом, мы получим новый ряд:

Каждый член этого ряда совпадает с определенным членом исходного ряда.

Абсолютно сходящийся ряд обладает переместительным свойством, или от перестановки мест слагаемых сумма не меняется.
Теорема 10. Если ряд абсолютно сходится, то ряд полученный из него перестановкой членов, также сходится и имеет ту же сумму , что и исходный ряд.
Доказательство. Проведем в два приема.1) Предположим сначала что ряд - положительный. Рассмотрим произвольную частичную сумму ряда . Так как

то, взяв большим всех номеров , очевидно будем иметь , а следовательно, и подавно

В таком случае будет сходящимся и его сумма не превзойдет :

Но и ряд из получается перестановкой членов, поэтому аналогично:

.

Сопоставляя полученные соотношения, придем к требуемому равенству:

.

2) Пусть теперь будет произвольный абсолютно сходящийся ряд.

Так как сходящийся положительный ряд:

при любой перестановке членов остается сходящимся, то по теореме 9 сохранит свою абсолютную сходимость и ряд .

В случае абсолютной сходимости ряда , его сумма выражается так:


,

Где и есть суммы положительных рядов и , составленных, соответственно, из положительных и абсолютных величин отрицательных членов ряда .

Перестановка членов в ряде вызовет перестановку членов и в этих рядах, но не отразится на их суммах и . Таким образом сумма ряда останется прежней, что и требовалось доказать.
Теорема о произведении абсолютно сходящихся рядов. Если ряды и сходятся абсолютно к и соответственно, то ряд, составленный из расположенных в произвольном порядке всевозможных произведений (i = 1, 2, …, j = 1, 2, …), так же сходится абсолютно и имеет суммой число .
Доказательство. Пусть (1) ряд, составленный из взятых в некотором порядке произведений . Рассмотрим положительные ряды


(2) (3)
(4)

Первый и второй ряды сходятся по условию; обозначим их суммы соответственно и . Докажем сходимость ряда (4). С этой целью рассмотрим его частичную сумму

.

Каждое есть произведение некоторого на некоторое . Пусть, например,

, , …, .

Обозначим через наибольшее из чисел . Тогда,

(частные суммы рядов (2) и (3) не убывают при росте и, следовательно, не превосходят своих пределов). То есть при любом

.

Так как при этом величина не убывает с возрастанием , то она имеет конечный предел. Это означает, что ряд (4) сходится, то есть ряд (1) сходится абсолютно. Остается доказать равенство

.

Так как ряд (1) - абсолютно сходящийся, то его сумма не зависит от порядка членов, и можно расположить их любым удобным образом. С этой целью рассмотрим следующую таблицу, составленную из всевозможных произведений , то есть содержащую все члены ряда (1):

				…
				…
				…
				…
…	…	…	…	…

Нужный нам порядок членов ряда (1) схематически указан здесь стрелками. Таким образом, не изменяя суммы ряда (1), мы можем переписать его следующим образом:


( ) ( ) (5)

Мы можем так же каждую группу членов посчитать за один член (члены сходящегося ряда можно группировать). Но тогда -я частичная сумма ряда (5) равна величине

и будет, следовательно иметь пределом число .