Департамент образования города Москвы

Глава 1. Числовые ряды и векторные ряды

§1.1 Основные факты об абсолютно и условно сходящихся числовых рядах

Основные определения

Пусть дана числовая последовательность , и фиксирован порядок ее суммирования. Выражение, имеющее вид суммы бесконечного числа слагаемых


(1)

называется числовым рядом. Так же ряд обозначается символом или . Данные записи удобнее чем запись (1).

Числа называются членами ряда, а член с произвольным номером - общим членом ряда.
Суммы конечного числа членов ряда

называются частичными суммами ряда (1). Так как число членов ряда бесконечно, то частичные суммы ряда образуют бесконечную последовательность частичных сумм

(2)

Ряд (1) называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм (2) сходится к какому-нибудь числу , которое в этом случае называется суммой ряда (1). Символически это записывается так:

или .

Следует понимать, что символом может обозначаться и сам ряд и его сумма.

Если же последовательность частичных сумм (2) расходится (т.е. не сходится), то ряд (1) называется расходящимся.

Действия над рядами

Теорема 1. Изменение конечного числа членов ряда не влияет на его сходимость или расходимость.
Доказательство. Рассмотрим случай, когда изменения состоят в отбрасывании
первых членов ряда. Пусть ряд


(4)

сходится и имеет сумму , т.е. . Обозначим через сумму отброшенных членов ряда (4), а через сумму первых членов ряда

(5)

Тогда

, (6)

где - некоторое число, не зависящее от n. Из равенства (6) следует , т.е. последовательность частичных сумм ряда (5) имеет предел, что означает сходимость ряда (5).

Пусть теперь ряд (5) сходится и имеет сумму , т.е. . Тогда из (6) следует , что означает сходимость ряда (4).
Теорема 2. Если ряд сходится и его сумма равна S, то и ряд , где с - некоторое число, также сходится, и его сумма равна cS.
Доказательство. Пусть - частичная сумма ряда , а - частичная сумма ряда . Тогда


.

Отсюда, переходя к пределу при , получаем , т.е. последовательность частичных сумм ряда сходится к cS. Следовательно, .

Теорема 3. Если ряд и сходятся и их суммы соответственно равны S и , то и ряд сходится и его сумма равна .
Доказательство. Пусть и - частичные суммы рядов и , а - частичная сумма ряда . Тогда

Отсюда, переходя к пределу при , получаем , т.е. последовательность частичных сумм ряда сходится к . Следовательно

.


Теорема 4 (необходимое условие сходимости ряда). Если ряд сходится, то его общий член стремиться к нулю, т.е. .
Доказательство. По условию ряд сходится. Обозначим через S его сумму. Рассмотрим частные суммы ряда и . Отсюда . Т.к. и при ,
то


.

Условие является необходимым, но не достаточным условием сходимости ряда.

Пример: Пусть дан гармонический ряд .


,

но ряд является расходящимся.

Расходимость гармонического ряда следует или из интегрального признака сходимости или из элементарного неравенства: