Conference proceedings

 
Definition.
 If for the given matrices 
𝐴
, 
𝐶
 and vector 
𝑢
 there is a solution 
𝑥 = 𝑥 + 𝑒
 to the system 
𝑥(𝑖 + 1) = 𝐴(𝑖)𝑥(𝑖) + 𝐶(𝑖)𝑢(𝑖)
𝑖 = 0, 𝑁 − 1
where 
‖𝑒‖ ≤ 𝜀
 , then such a technological process can be deemed functionally stable
. 
The report shows that the system (1) is equivalent to a system of linear algebraic equations 
𝐴𝑥 = 𝐶𝑢
, where
𝑥 =
(𝑥
𝑇
(0), 𝑥
𝑇
(1), … , 𝑥
𝑇
(𝑁))
𝑇
,
𝑢 = (𝑢
𝑇
(0), 𝑢
𝑇
(1), … , 𝑢
𝑇
(𝑁 − 1))
𝑇
, and the matrices 
𝐴
and 
𝐶
are formed from 
𝐴(𝑖)
and 
𝐶(𝑖)
, 
𝑖 = 0, 𝑁 − 1
.
Conditions of functional stability in management of the production process 
Let's denote 
𝑍(𝐴
𝑇
) = 𝐸 − 𝐴𝐴
+
as a projection on the matrix core 
𝐴
𝑇
, 
and
 
𝐴
+
as a pseudo-inverse matrix. The 
constructive conditions of functional stability in the management of manufacturing processes of an industrial enterprise 
are recorded in the following way. 
Theorem 1.
Let the condition
𝑢
𝑇
𝑄𝑢 = 0
where 
𝑄 = 𝐶
𝑇
𝑍(𝐴
𝑇
)𝐶
be met. At the same time
‖𝐴
+
(𝐶𝑢 = 𝐴𝑥)‖ ≤ 𝜀
Then the technological process described by equation (1) is functionally stable. 
In this case, the inverse theorem to theorem 1 is also justified. 
Theorem 2.

If the technological process is functionally stable, then 
𝑢
𝑇
𝑄𝑢 = 0
at the same time is 
‖𝐴
+
(𝐶𝑢 − 𝐴𝑥̅)‖ ≤ 𝜀
. 
If the solution to the system (1) that meets the functional stability conditions does not exist, 
the process cannot be ensured to be implemented. In this case, the process should be stopped in order 
to analyze which parameters lead to functional instability. At the same time, we can solve the problem
𝐼(𝑒) = ‖𝐴𝑒 − 𝐶𝑢 − 𝐴𝑥‖ → min
𝑒
.
Conclusion 
The constructive conditions of functional stability of the manufacturing process serving as a basis for the 
implementation of the information system at the enterprise were obtained, which shall provide functionally stable 

---

technological processes and, consequently, production output according to the established reference requirements within 
the time interval required. 
References 
1.
Собчук В.В. Методика створення єдиного інформаційного простору на виробничому підприємстві з функціонально 
стійким виробничим процесом / Наукове періодичне видання «Системи управління, навігації та зв’язку». – Полтава: 
ПНТУ, 2019. – Вип. 6 (58). – С 84 – 91. 
2.
N. Lukova-Chuiko Application of Petri Networks for Support of Functional Stability of Information Systems /O. Barabash, 
N. Lukova-Chuiko, V. Sobchuk, A. Musienko // 2018 IEEE First International Conference on System Analysis & Intelligent 
Computing (SAIC) – 8-12 Oct. 2018 – Kiev, Ukraine – P. 1–4.