Chiziqli fazo. Yevklid fazosi

Yechish.

To’plamning ixtiyoriy elementini olaylik.

U holda

ning shartlari bajarilayapti

Bundan fazoning chiziqli qism fazosi hisoblanadi

• to’plamdan ixtiyoriy elementlarni olsak
• U holda
• ya’ni ning uchinchi koordinatasi V to’plam uchun qoida bajarilmayapti, ya’ni .Bundan V to’plam fazoda chiziqli qism fazo tashkil etmaydi.

• Chiziqli fazoning qism fazolari. Yevklid fazosining ta’rifi. Yevklid fazosida elementning normasi tushunchasi.
• 11- ta’rif. Agar chiziqli fazo elementlari orasida skalyar koʻpaytma aniqlangan boʻlsa, bu fazo Yevklid fazosi deyiladi va koʻrinishda belgilanadi.
• Har qanday n oʻlchovli haqiqiy arifmetik fazoda skalyar koʻpaytmani aniqlash orqali uni Yevklid fazosiga aylantirish mumkin.
• 12- ta’rif. Yevklid fazosidan olingan vektor uchun quyidagicha
• aniqlangan songa vektorning normasi (uzunligi) dyeb aytiladi:
• Vektorning uzunligi uchun quyidagi xossalar oʻrinlidir:
• 1. barcha elementlar uchun.
• 2. , bunda ;

• 3. (Koshi-Bunyakovskiy tengsizligi);

4. (uchburchak tengsizligi).

• 13- ta’rif. Agar elementlar uchun boʻlsa u holda
• elementlar ortogonal vektorlar deyiladi.
• 14- ta’rif. Noldan farqli elementlardan tashkil topgan vektorlar sistemasidagi vektorlarning har qanday ikki jufti oʻzaro ortogonal boʻlsa, u holda bu sistema ortogonal vektorlar sistemasi deb ataladi.
• 15- ta’rif. Agar ortogonal vektorlar sistemasi boʻlib
• boʻlsa, u holda vektorlar sistemasi ortonormal vektorlar sistemasi deyiladi.
• 16- ta’rif. Agar vektorlar sistemasi fazoning
• bazisi boʻlib, ortonormal vektorlar sistemasini tashkil qilsa, u holda bu bazisga ortonormal bazis deyiladi.

• Ortonormallangan bazis uchun quyidagi munosabat oʻrinli:
• Teorema. Har qanday n oʻlchovli haqiqiy Evklid fazosida ortonormallangan bazis mavjud.
• Isbot. Faraz qilaylik vektorlar sistemasi fazoning
• ortonormall boʻlmagan bazislaridan biri boʻlsin. Biz bu bazisdan ortonormallangan bazisni quramiz. Buning uchun Shmidt formulalaridan foydalanamiz:
• , deb olib keyingi qadamda

• Teorema isbotlandi.
• 8. –misol. yoki vektor