Arifmetik funksiyalar tushunchasi butun koordinatali nuqtalari xaqida

2-Lemma. Agar bo’lsa, U holda ixtiyoriy natural soni uchun

_formula o‘rinli. Bunda
Isboti. natural sonini olib (4)-formulani qo‘llaymiz. U holda ekanliklarini e’tiborga olib quyidagiga ega bo’lamiz:




Bundan va da quyidagi kelib chiqadi:

Bu oxirgi integral yarim tekislikdagi analitik funksiyani aniqlaydi. Analitik davom ettirish prinsipiga ko’ra Bu yerdan lemmaning tasdig‘i kelib chiqadi.
Natija. funksiya 0 yarim tekislikdagi nuqtadan boshqa nuqtalarda analitik funksiya bo’lib 𝑠=1 da Bu funksiya chegirmasi 1 ga teng bo‘lgan oddiy qutbga ega.
2. Dzeta funksiyaning funksional tenglamasi. funksiyaning funksional tenglamasini keltirib chiqarishda ushbu lemmadan foydalanamiz.
3-Lemma. Agar ixtiyoriy haqiqiy sonlar bo‘lib

bo’lsa, u holda

bo’ladi.
_Isboti. Umumiylikka qarshilikga kelmagan holda deb hisoblashimiz mumkin. deb olib quyidagi integralni qaraymiz:

Avvalo, quyidagi tengliklarni e’tiborga olib ning shakli o‘zgartiramiz.



va

Bu yerda biz bo‘lganda

ekanligidan, da esa qaralayotgan integralning qiymati 1 ga teng ekanligidan, ya’ni

dan foydalandik. (5) dan foydalanib integralni quyidagicha yoza olamiz:

(6)
Bunda

Endi ni, bo‘lganda, baholaymiz. Buning uchun

Deb belgilab olib, uni quyidagicha uchta integralga ajratamiz:
,
Bu yerda

Avvalo, ni baholaymiz. Buning uchun bo‘lganda ni baholaymiz. Chekli ayirmalar formulasidan foydalansak

hosil bo’ladi. Shuning uchun ham

yoki

va integrallar bir hilda baholanadi. Shuning uchun ham ni qarash bilan chegaralanamiz. Uni bo‘laklab integrallab quyidagiga ega bo’lamiz:

Bu yerda

ni qo‘polroq qilib bo‘lganda quyidagicha baholaymiz:

Shuning uchun ham bo‘lgani uchun

bo’ladi. Shunday qilib,

Endi (6) ning ikkala tomonini boyicha bo‘lganda yig‘sak



hosil bo’ladi. ni qaraymiz.
Bunda

ni hisoblaymiz.

Faraz qilaylik bo’lib, esa uchlari nuqtalarda bo‘lgan to‘g‘ri to‘rtburchakning konturi bo’lsin. U holda

Bu yerdagi oxirgi 2 ta integral ham absolyut qiymati jihatidan

dan katta emas. Shuning uchun ham (1.7) da da limitga o‘tib quyidagiga ega bo’lamiz:

Bu yerda ekanligidan foydalandik. Shunday qilib
va

Bu tenglikda da limitga o‘tib lemmadagi tenglikni hosil qilamiz.